Парадокс Монти Холла

Jabberwocky> А представьте себе, что дверей 100. Вы выбрали например 77-ую. Ведущий вам предлагает выбрать 34-ую. Остальные "пустые".
Jabberwocky> Какую вы выберете?

Было 100 дверей. Открыли 98. Почему 98% вероятности с открытых дверей перешло только на одну из двух оставшихся закрытых? Почему эти 98% не распределились поровну между двумя оставшимися закрытыми?

Jabberwocky>> А представьте себе, что дверей 100. Вы выбрали например 77-ую. Ведущий вам предлагает выбрать 34-ую. Остальные "пустые".
Jabberwocky>> Какую вы выберете?
Serge77> Было 100 дверей. Открыли 98. Почему 98% вероятности с открытых дверей перешло только на одну из двух оставшихся закрытых? Почему эти 98% не распределились поровну между двумя оставшимися закрытыми?

Потому, что ситуация получается такая, "Выбери между одной дверью и 99. Если выбираешь одну - получишь приз, если он за этой дверью. Если выбираешь 99 - получишь приз если он за одной из них".

Serge77> Никак не могу понять, почему когда открывают одну дверь, то 1/3 вероятности с неё переходит только на ту дверь, которую не выбрал игрок. Почему эта 1/3 не переходит в равных частях на обе оставшиеся двери?
Представь, что тебе бы разрешили выбрать две двери, а потом бы одну дверь открыли (из выбранных). Как тогда бы вероятности бы изменились?

Проблема в том, что при выборе из двух дверей ты не хочешь учитывать инфу от предыдущего "состояния". Вот, если бы пришёл второй товарищ и увидел бы ситуацию из двух дверей и ничего бы он не знал о предыдущем выборе, то вероянтость бы была 1/2. Но в игре есть инфа от предыдущего хода. Итак, ты выбрал дверь. Вероятность выиграть 1/3, проиграть 2/3. Если бы ведущий не открыл дверь, а предложил бы тебе вместо первой двери выбрать две другие — вероятность бы выиграть повысилась бы, правильно? А теперь, тебе открыли одну дверь без машины и предложили заменить твою дверь на две другие, но одна открыта, а другая закрыта — в чём разница с тем, что тебе бы предложили заменить твою дверь на две закрытые? Разницы нет. Поэтому, с точки зрения этой формулировки, 1/3 из открытой двери переходит только на закрытую и ту, которую ты не выбрал изначально. Так понятнее?

Mishka> Представь, что тебе бы разрешили выбрать две двери, а потом бы одну дверь открыли (из выбранных). Как тогда бы вероятности бы изменились?

Это другая задача, не путай.

Mishka> Проблема в том, что при выборе из двух дверей ты не хочешь учитывать инфу от предыдущего "состояния".

Я хочу. Информация простая - теперь приз за одной из двух дверей. Больше НИКАКОЙ другой информации нет. Какая разница, что когда-то было за какими-то другими дверями?

Mishka> Вот, если бы пришёл второй товарищ и увидел бы ситуацию из двух дверей и ничего бы он не знал о предыдущем выборе, то вероянтость бы была 1/2.

Очень интересно ;^)) Как это может быть? Есть две двери, за ними один приз. Каким образом вероятность нахождения приза за конкретной дверью может зависеть от того, кто смотрит на эти двери?

Mishka> Итак, ты выбрал дверь. Вероятность выиграть 1/3, проиграть 2/3. Если бы ведущий не открыл дверь, а предложил бы тебе вместо первой двери выбрать две другие — вероятность бы выиграть повысилась бы, правильно?

Правильно, до 2/3.

Mishka> А теперь, тебе открыли одну дверь без машины и предложили заменить твою дверь на две другие, но одна открыта, а другая закрыта — в чём разница с тем, что тебе бы предложили заменить твою дверь на две закрытые? Разницы нет.

Разница есть. Теперь вероятность 1/3 от открытой двери перешла поровну на две оставшиеся двери.

Сергей-4030> Блин, ну как еще объяснить. Получаются две игры, первая - когда человек отказывается сменить дверь. Тогда все понятно, вероятность выигрыша 1/3. Вторая игра такая: "Выбери дверь, где НЕТ приза. Если выбрал - молодец, приз достается тебе. Если не получилось, если выбрал ту дверь, за которой приз таки есть - не повезло, ничего не получишь". Неужели сложно видеть, что во второй игре вероятность выигрыша 2/3? Ибо для проигрыша нужно попасть именно на дверь с призом, т.е. вероятность проиграть 1/3.

ЗЫ А "переходов" вероятностей просто нет. Это что-то вроде такого: вам предлагают бросить монетку и если выпадет решка - приз ваш. А еще вы можете бросить кубик и если выпадет все, кроме 6 - приз тоже ваш. В какую игру будете играть?

Serge77> Это другая задача, не путай.

Она двойственная. А пространство событий то же.

Serge77> Я хочу. Информация простая - теперь приз за одной из двух дверей. Больше НИКАКОЙ другой информации нет. Какая разница, что когда-то было за какими-то другими дверями?

Да нет же. Приз уже положили за дверь. Ситуация не поменялась. Ты выбрал дверь. Вероятность 1/3, что угадаешь. Вероятность, что не угадаешь — 2/3. Правильно? Или, говоря по другому, за твой дверью машина — 1/3. За двумя другими — 2/3. Теперь, в той части, где 2/3 было одну дверь открыли и машины там нет. Почему вероятность должна куда-то перейти? Она осталась в двух дверях. Что изменилось, так это то, что одну открыли. Нет никакого перехода вероятности. Просто тебе стало известно, что за одной из двух дверей машины нет.

Serge77> Очень интересно ;^)) Как это может быть? Есть две двери, за ними один приз. Каким образом вероятность нахождения приза за конкретной дверью может зависеть от того, кто смотрит на эти двери?

Нет, это уже другая игра. Товарищ выбирает просто из двух дверей. А первый выбрал из трёх, а потому ему предложили ещё выбор при дополнительной инфе. Ну рассмотри случай 100 дверей. Очень помогает. Вот выбрал ты одну из 100. Какова вероятность выигрыша? 1/100. А какова вероятность того, что она за другими 99 дверями? Правлиьно, 99/100. Теперь ведущий открыл 98 дверей без машины — какова вероятность того, в свете указанных событий, что за оставшейся дверью есть машина? Неужели 1/2? Если ты скажешь, что 1/2, то закрой двери обратно и подумай.

Serge77> Правильно, до 2/3.

В чем разница, если он открыл одну, где нет машины и предложил сменить дверь? Что изменилось-то?

Serge77> Разница есть. Теперь вероятность 1/3 от открытой двери перешла поровну на две оставшиеся двери.

Гы, каким образом? Машину не двигали. Или ты думаешь, что, когда ты выбрал две двери, а потом сам начинаешь открывать, то открыв первую дверь и не обнаружив там машины — вероятность у тебя тут же понизилась?

AleX413> Вы уж извините, граждане, но это козлиный какой-то парадокс
AleX413> Причем тут первая итерация? Почему она вообще должна учитываться как 1/3 на 2/3? Она ровно ничего не дает. И хоть 20 раз подряд с 21 дверью и 20 козами - после нее всегда останется хотя бы одна дверь с козой, которую откроют. Козы-то равноценны Есть только одна игра, она же последняя, с вероятностью 1/2. И нет никакого парадокса.

И даже элементарный подсчет вариантов вас не убеждает? То, что cуществует всего-то 9 вариантов, из них выигрывает в первом случае 3, а во втором - 6, вас не введет в заблуждение?

Конкретно варианты, в столбцах: номер двери, за которой автомобиль, номер выбранной двери, результат в "первом" сценарии, результат во "втором" сценарии.

1 1 win lose
1 2 lose win
1 3 lose win
2 1 lose win
2 2 win lose
2 3 lose win
3 1 lose win
3 2 lose win
3 3 win lose

Т.е. в первом сценарии выигрывает 3 из 9, во втором - 6 из 9. Даже такая табличка вас не разубеждает? Или вы видите где-то неточность в моей табличке?

Можно я отвечу в твоём стиле?

AleX413> Вы уж извините, граждане, но это козлиный какой-то парадокс

Извини, но ты по козлиному решаешь.

AleX413> Причем тут первая итерация?

Потому, что она даёт инфу. А, если её не рассматривать, а только прийти к шапочному разбору, то да — 1/2.

AleX413> Почему она вообще должна учитываться как 1/3 на 2/3? Она ровно ничего не дает.

Да даёт. Чего изменится, если не открыв двери тебе предложат выбрать не одну, а оставшиеся две двери?

AleX413> И хоть 20 раз подряд с 21 дверью и 20 козами - после нее всегда останется хотя бы одна дверь с козой, которую откроют.

Ну так подсчитай, какова вероятность нахождения козы за той дверью, которую ты выбрал. Она либо там была до твоего выбора, либо нет. Каковы вероятности? Ну открыли тебе 19 дверей — что поменялось то? Ведь специально открывают те, за которыми нет.

AleX413> Козы-то равноценны Есть только одна игра, она же последняя, с вероятностью 1/2. И нет никакого парадокса.

Коза-то одна. И к последнему моменту ты пришёл через первый. Ведущий же не открывает двери случайно. А специально. Т.е., если козы нет, то пофиг, а, если коза есть, то за дверью. А коза за дверью была с вероятностью 20/21 — если рассуждать по твоим правилам.

Пример с 100 дверями я читал и в первый раз действительно с ним согласился. Но потом подумал и не согласился.

Mishka> Теперь, в той части, где 2/3 было одну дверь открыли и машины там нет. Почему вероятность должна куда-то перейти? Она осталась в двух дверях.

Ну раз вероятность не переходит, тогда за оставшимися двумя дверями приз так и есть с вероятностью условно 1/3, т.е. с равной вероятностью.

Давайте рассмотрим ситуацию с 100 дверями чуть по-другому.

Допустим, я выбрал сначала дверь номер 1, потом открыли все двери, кроме 2. Значит, вероятность приза за дверью 2 - 99%.
Теперь допустим, я бы в той же игре выбрал сначала дверь номер 2, потом открыли все двери, кроме 1. Значит, вероятность приза за дверью 1 - 99%.
Вот это парадокс ;^))

Serge77> Давайте рассмотрим ситуацию с 100 дверями чуть по-другому.
Serge77> Допустим, я выбрал сначала дверь номер 1, потом открыли все двери, кроме 2. Значит, вероятность приза за дверью 2 - 99%.
Serge77> Теперь допустим, я бы в той же игре выбрал сначала дверь номер 2, потом открыли все двери, кроме 1. Значит, вероятность приза за дверью 1 - 99%.
Serge77> Вот это парадокс ;^))
Допустим, выбрали дверь номер 2, а потом открыли все двери, кроме третьей. Опа-на, неожиданность!

Сергей-4030> И даже элементарный подсчет вариантов вас не убеждает? То, что cуществует всего-то 9 вариантов, из них выигрывает в первом случае 3, а во втором - 6, вас не введет в заблуждение?
Сергей-4030> Конкретно варианты, в столбцах: номер двери, за которой автомобиль, номер выбранной двери, результат в "первом" сценарии, результат во "втором" сценарии.
Сергей-4030> 1 1 win lose
Сергей-4030> 1 2 lose win
Сергей-4030> 1 3 lose win
Сергей-4030> 2 1 lose win
Сергей-4030> 2 2 win lose
Сергей-4030> 2 3 lose win
Сергей-4030> 3 1 lose win
Сергей-4030> 3 2 lose win
Сергей-4030> 3 3 win lose
Сергей-4030> Т.е. в первом сценарии выигрывает 3 из 9, во втором - 6 из 9. Даже такая табличка вас не разубеждает? Или вы видите где-то неточность в моей табличке?

Можно с табличкой. Допустим, открыли 3 дверь. Убираем из таблички варианты с ней, остаётся:

1 1 win lose
1 2 lose win
2 1 lose win
2 2 win lose

Итого, вероятность выигрыша по 1/2 на дверь.
Даже такая табличка вас не разубеждает? Или вы видите где-то неточность в моей табличке?

Serge77> Можно с табличкой. Допустим, открыли 3 дверь. Убираем из таблички варианты с ней, остаётся:
Serge77> 1 1 win lose
Serge77> 1 2 lose win
Serge77> 2 1 lose win
Serge77> 2 2 win lose
Serge77> Итого, вероятность выигрыша по 1/2 на дверь.
Serge77> Даже такая табличка вас не разубеждает? Или вы видите где-то неточность в моей табличке?
Не-а, ты не можешь убрать из таблички, т.к. задача поменяется. Твоя ошибка в том, что ты считаешь, что вторую дверь открывют случайным образом. А это не так.

Хочешь — сам проверь. Возьми друга, 10 карт — 9 красных, одну чёрную. Чёрная будет аналог машины. И сыграй раз 100. Друг выкладывает карты рубашкой вверх и знает, где чёрная лежит. Далее ты выбираешь, он открывает 8. И вы считаете, сколько раз получилось в твоей карте и сколько раз получилось в другой карте. По твоей теории, ты должен выиграть примерно половину раз. Результаты доложи. Посмеёмся вместе.

Кажеться я понял, что тебя смутило. Ты считаешь, что вероятности распределены равновмерно по картам. Но в задаче есть два типа колод карт. Один из одной карты. И другой из 99. Вероятность чёрной карты в первой колоде из одной колоды карт — 1/100, а во второй — 99/100. От того, что ты открыл 98 карт, которые не выигрышные — вероятность нахождения карты во второй колоде не меняется. Т.е. вероятность не переходит на карту. Она остаётся аттрибутом колоды. Т.е. на колоде с одной картой всё та же 1/100, а на колоде из 99 карт, хотя 98 и открыты — 99/100.

Serge77> Можно с табличкой. Допустим, открыли 3 дверь. Убираем из таблички варианты с ней, остаётся:
Serge77> 1 1 win lose
Serge77> 1 2 lose win
Serge77> 2 1 lose win
Serge77> 2 2 win lose
Serge77> Итого, вероятность выигрыша по 1/2 на дверь.
Serge77> Даже такая табличка вас не разубеждает? Или вы видите где-то неточность в моей табличке?

Вижу, естественно. В моей табличке вероятности каждой "строчки" равны (каждой из девяти), в вашем - нет, поэтому ваша табличка некорректна.

ЗЫ Вы слишком зациклились, имхо, на "переходе вероятностей". Этот термин не является строгим и что именно он описывает тоже не слишком понятно.

Serge77> Для химика (меня) вот такое объяснение ближе:
Serge77> есть аквариум на 100 литров, в нём плавает одна рыбка. Нужно зачерпнуть литровой кружкой одну порцию и поймать рыбку. Черпаешь один раз, потом из оставшихся 99 литров ведущий сливает 98 литров и предлагает либо оставить себе первый зачёрпнутый литр или поменять его на литр, оставшийся в аквариуме. Тагда канешна нужно менять ;^))

Он слил с фильтром, чтобы рыбка не выпала. Тогда да.

Serge77> В этом объяснении наглядно видно, что вероятность не переходит равномерно на оставшиеся 2 литра, а вся остаётся в аквариуме. Но тогда если другой игрок придёт в игру уже после слива и ему нужно будет выбирать между оставшимися двумя литрами, не зная предыдущей истории, то вероятность выигрыша у него будет не 50 на 50, а точно такая же, как у первого игрока,

Нет. Он не знал инфы до. Он не знал сколько там воды было. Поэтому он и должен работать только с той инфой, которая есть. Поэтому для него это 1/2. Т.е. его предположение о равномерном распределении вероятности ошибочно.

Serge77> т.е. 1 на 99! Вот тут народ ошибался.

Здесь народ по просто привык работать с дискретной вероятностью и в варианте с равномерным распределением. И дискретка здесь играет злую роль.

Serge77> А меня сильно смущало, почему вероятность может зависеть от игрока.

Она зависит не от игрока, а от модели, которую строит игрок. Поскольку вначале на каждую дверь была она распределена равномерно, то это как бы нормальный посыл. Но, как оказалось, модель такая неправильная, т.к. второе условие чётко показывает, что игра другая.

Serge77> А оказывается, что для второго игрока это будет нечестная игра, примерно как дать ему вытянуть чёрную карту из одной из двух колод, причём одна колода будет нормальная, а во второй будет только одна чёрная, а остальные красные.

Можно назвать нечестной. Но, ИМХО, это не так. Ему никто не обещал, что вероятность будет RND.

Serge77> А есть тут специалисты, которые могут дать строгое объяснение? К чему это относится - к статистике, теории игр или чему?
Теорвер чистой воды. С полным описанием пространства и корректной моделью. Причём тот, который у математиков проходят в самом начале.

Serge77> А есть тут специалисты, которые могут дать строгое объяснение? К чему это относится - к статистике, теории игр или чему?

Строгое объяснение чему именно? У Мишки очень хорошее математическое образование и навыки. Я по университетскоми диплому тоже как-никак математик. Но в данном случае - что именно надо строго объяснить?

Mishka> Теорвер чистой воды. С полным описанием пространства и корректной моделью. Причём тот, который у математиков проходят в самом начале.

Ага, тогда представим, что это задача на семинаре или экзамене у студента. Как должно выглядеть полное решение, годное для сдачи экзамена?
Если это долго писать, то я конечно не настаиваю, но мне просто интересно посмотреть, как это выглядит, даже если я его не пойму.

Mishka>> Теорвер чистой воды. С полным описанием пространства и корректной моделью. Причём тот, который у математиков проходят в самом начале.
Serge77> Ага, тогда представим, что это задача на семинаре или экзамене у студента. Как должно выглядеть полное решение, годное для сдачи экзамена?
Serge77> Если это долго писать, то я конечно не настаиваю, но мне просто интересно посмотреть, как это выглядит, даже если я его не пойму.

Громоздко будет, но не сложно. Если упростить условия, скажем, есть n дверей, 1 автомобиль, ведущий открывает m дверей, человек выбирает только одну дверь. Вероятность выигрыша без подсказки - 1/n. Соотвественно, вероятность того, что автомобиль за одной из оставшихся дверей - (n-1)/n.

Представим, что автомобиль за одной из оставшихся дверей. Тогда после открывания m пустых дверей, вероятность выигрыша при выборе из оставшихся дверей - 1/(n-m-1)

Если человек выбрал "вторую" стратегию, то тогда вероятность его выигрыша:

1/n * 0 (если он выбрал правильную изначально, то он точно проигрывает)
+ ((n-1)/n) * (1/(n-m-1)) (если изначально он выбрал неправильную, то выигрывает с вероятностью 1/(n-m-1))

т.е. общая вероятность его выигрыша при второй стратегии:

(n-1)/(n*(n-m-1)

Вероятность выигрыша при первой стратегии, разумеется 1/n.

поскольку 1/n = (n-m-1)/(n*(n-m-1)), то легко видеть, что

(n-1)/(n*(n-m-1)) > 1/n

при любом натуральном m поскольку

n-1 > n-m-1

В частности, если n=3 и m=1 (первый описанный случай) вероятность выигрыша "непродвинутой" стратегии - 1/3 а "продвинутой" - (3-1)/(3*(3-1-1) = 2/3.

Если дверей 100 и ведущий открывает 98, то вероятность выигрыша второй стратегии:

(100-1)/(100*(100-98-1)) = 99/100*1 = 0.99

При немножко большем потраченном времени можно "обобщить" на случай, когда автомобилей не 1, а x а открывается не 1 дверь, а y.

Это то, что вы хотели?