-
/83235_a.jpg)
Парадокс Монти Холла
теорверская задача про три двериТеги:
Сергей-4030
А вот вам распределение вероятностей при 100 дверей. По оси абсцисс - количество открываемых дверей, по оси ординат - вероятность выигрыша при второй стратегии.
Прикреплённые файлы:
инфо
инструменты
Mishka>> Теорвер чистой воды. С полным описанием пространства и корректной моделью. Причём тот, который у математиков проходят в самом начале.
Serge77> Ага, тогда представим, что это задача на семинаре или экзамене у студента. Как должно выглядеть полное решение, годное для сдачи экзамена?
Таблица. С указанием вероятностей и почему они так вычислены — подойдёт. Т.е. изначально, на каждую дверь вероятность распределена равномерно. Это следует из условия задачи — 3 двери, за одной подарок. Как человек выберет дверь — ведущему неизвестно. Понятно, что предположений, что игрок любит красный цвет, поэтому одна дверь красная — нет. Вот произошло событие — человек выбрал. В этот момент три двери разбиты на два множества — одна дверь и две двери. Вот таблица из 9 входом и описывает всё пространство, теперь его на разбить на два подпростанства из одной двери и двух дверей. С ними и работаем. Далее, хотя одну из двух дверей второго пространства открыта, распределение вероятностей остаётся неизменным. Человеку предлагают перевыбрать не дверь, а множество дверей. Оценки вероятностей для множеств считаются через единичные двер. Всё.
Но всего этого говорить даже не надо. Сразу можно сказать, что P(2-х дверей)=2/3 и смена пространства увеличит вероятность.
Serge77> Если это долго писать, то я конечно не настаиваю, но мне просто интересно посмотреть, как это выглядит, даже если я его не пойму.
Не, не долго. Табличку уже приводили.
Но и другое рассуждение про пространство и вычисление вероятности, которое приводили уже выше — тоже нормально. Вариант, что осталось две двери и вероятность 0.5 — не подходит, т.к. решалась другая задача.
Serge77> Ага, тогда представим, что это задача на семинаре или экзамене у студента. Как должно выглядеть полное решение, годное для сдачи экзамена?
Таблица. С указанием вероятностей и почему они так вычислены — подойдёт. Т.е. изначально, на каждую дверь вероятность распределена равномерно. Это следует из условия задачи — 3 двери, за одной подарок. Как человек выберет дверь — ведущему неизвестно. Понятно, что предположений, что игрок любит красный цвет, поэтому одна дверь красная — нет. Вот произошло событие — человек выбрал. В этот момент три двери разбиты на два множества — одна дверь и две двери. Вот таблица из 9 входом и описывает всё пространство, теперь его на разбить на два подпростанства из одной двери и двух дверей. С ними и работаем. Далее, хотя одну из двух дверей второго пространства открыта, распределение вероятностей остаётся неизменным. Человеку предлагают перевыбрать не дверь, а множество дверей. Оценки вероятностей для множеств считаются через единичные двер. Всё.
Но всего этого говорить даже не надо. Сразу можно сказать, что P(2-х дверей)=2/3 и смена пространства увеличит вероятность.
Serge77> Если это долго писать, то я конечно не настаиваю, но мне просто интересно посмотреть, как это выглядит, даже если я его не пойму.
Не, не долго. Табличку уже приводили.
Но и другое рассуждение про пространство и вычисление вероятности, которое приводили уже выше — тоже нормально. Вариант, что осталось две двери и вероятность 0.5 — не подходит, т.к. решалась другая задача.
Серёг, ты тоже немного игру поменял. 
Mishka> Серёг, ты тоже немного игру поменял.
Почему? Где? По-моему, вероятности расписаны именно для той игры, с какой начиналось все. Т.е. сначала выбираем дверь из n, потом открываем m пустых дверей, потом меняем первоначальный выбор. Где изменения игры?
Почему? Где? По-моему, вероятности расписаны именно для той игры, с какой начиналось все. Т.е. сначала выбираем дверь из n, потом открываем m пустых дверей, потом меняем первоначальный выбор. Где изменения игры?
Mishka>> Серёг, ты тоже немного игру поменял.
Сергей-4030> Почему? Где? По-моему, вероятности расписаны именно для той игры, с какой начиналось все. Т.е. сначала выбираем дверь из n, потом открываем m пустых дверей, потом меняем первоначальный выбор. Где изменения игры?
Кстати, я написал программку-эмулятор, вроде теория с практикой сошлись.
Сергей-4030> Почему? Где? По-моему, вероятности расписаны именно для той игры, с какой начиналось все. Т.е. сначала выбираем дверь из n, потом открываем m пустых дверей, потом меняем первоначальный выбор. Где изменения игры?
Кстати, я написал программку-эмулятор, вроде теория с практикой сошлись.
Это сообщение редактировалось 23.06.2008 в 06:32
В обобщении. ИМХО, обобщить можно несколькими способами.
Mishka> В обобщении. ИМХО, обобщить можно несколькими способами.
Как? Я не вижу, честно говоря.
Как? Я не вижу, честно говоря.
Mishka>> В обобщении. ИМХО, обобщить можно несколькими способами.
Сергей-4030> Как? Я не вижу, честно говоря.
Ты пошёл по пути обобщения количества дверей — m открыть и из них выбирать. А можно ещё и по пути количества шагов выбора. Не два раза, а несколько. Можно дать выбирать не одну дверь, а тоже несколько.
Сергей-4030> Как? Я не вижу, честно говоря.
Ты пошёл по пути обобщения количества дверей — m открыть и из них выбирать. А можно ещё и по пути количества шагов выбора. Не два раза, а несколько. Можно дать выбирать не одну дверь, а тоже несколько.
Mishka>>> В обобщении. ИМХО, обобщить можно несколькими способами.
Сергей-4030>> Как? Я не вижу, честно говоря.
Mishka> Ты пошёл по пути обобщения количества дверей — m открыть и из них выбирать. А можно ещё и по пути количества шагов выбора. Не два раза, а несколько. Можно дать выбирать не одну дверь, а тоже несколько.
Ну, я об этом сказал, что не все параметры "обобщены". Но при этом любая более общая модель будет включать "мою" частную. Нельзя построить более общую модель, которая даст на "нашей" области определения результаты отличные от результатов "моей" модели. В этом смысле, имхо, нельзя говорить о изменении правил.
ЗЫ Но у меня было впечатление, что Serge77 имел в виду "строгое" решение "нашей" задачи и тот уровень общности, который предлагает "мое" решение его устроит.
ЗЫ На самом деле, расчет при выборе нескольких дверей, а не одной и прочие варианты, коим несть числа (типа, сначала выбираем 2 двери, потом ведущий открывает 3, потом выбираем одну, если Луна в третьей четверти и проч. и проч.) - несложен, но иногда громоздок.
Сергей-4030>> Как? Я не вижу, честно говоря.
Mishka> Ты пошёл по пути обобщения количества дверей — m открыть и из них выбирать. А можно ещё и по пути количества шагов выбора. Не два раза, а несколько. Можно дать выбирать не одну дверь, а тоже несколько.
Ну, я об этом сказал, что не все параметры "обобщены". Но при этом любая более общая модель будет включать "мою" частную. Нельзя построить более общую модель, которая даст на "нашей" области определения результаты отличные от результатов "моей" модели. В этом смысле, имхо, нельзя говорить о изменении правил.
ЗЫ Но у меня было впечатление, что Serge77 имел в виду "строгое" решение "нашей" задачи и тот уровень общности, который предлагает "мое" решение его устроит.
ЗЫ На самом деле, расчет при выборе нескольких дверей, а не одной и прочие варианты, коим несть числа (типа, сначала выбираем 2 двери, потом ведущий открывает 3, потом выбираем одну, если Луна в третьей четверти и проч. и проч.) - несложен, но иногда громоздок.
Serge77
Ну вот, два математика - и два решения ;^))
Спасибо обоим. Было интересно посмотреть, насколько строгое доказательство будет убедительнее, чем то, что до сих пор предлагалось "на пальцах". Оказалось не убедительнее, потому что не всё понятно.
Всё-таки мой пример более нагляден. Можно например легко показать, что вероятность выигрыша становится 50 на 50, только если оставшиеся 2 литра смешать и зачерпнуть 1 литр заново. Или если ведущий не сливает воду (без рыбки), а наугад вычёрпывает из аквариума 98 литров (возможно с рыбкой).
Спасибо обоим. Было интересно посмотреть, насколько строгое доказательство будет убедительнее, чем то, что до сих пор предлагалось "на пальцах". Оказалось не убедительнее, потому что не всё понятно.
Всё-таки мой пример более нагляден. Можно например легко показать, что вероятность выигрыша становится 50 на 50, только если оставшиеся 2 литра смешать и зачерпнуть 1 литр заново. Или если ведущий не сливает воду (без рыбки), а наугад вычёрпывает из аквариума 98 литров (возможно с рыбкой).
Serge77> Ну вот, два математика - и два решения ;^))
Serge77> Спасибо обоим. Было интересно посмотреть, насколько строгое доказательство будет убедительнее, чем то, что до сих пор предлагалось "на пальцах". Оказалось не убедительнее, потому что не всё понятно.
Почему? Вывод формулы элементарен, а из самой формулы (которая 
) c легкостью следуют все интересуемые следствия. По-моему, так все как раз убедительно на 100%, убедительнее просто не бывает. Наливай да пей. В смысле - подставляй да считай. 
Serge77> Всё-таки мой пример более нагляден. Можно например легко показать, что вероятность выигрыша становится 50 на 50, только если оставшиеся 2 литра смешать и зачерпнуть 1 литр заново. Или если ведущий не сливает воду (без рыбки), а наугад вычёрпывает из аквариума 98 литров (возможно с рыбкой).
Аналогии полезны, но они всегда более или менее неточны.
Serge77> Спасибо обоим. Было интересно посмотреть, насколько строгое доказательство будет убедительнее, чем то, что до сих пор предлагалось "на пальцах". Оказалось не убедительнее, потому что не всё понятно.
Почему?
Вывод формулы элементарен, а из самой формулы (которая Serge77> Всё-таки мой пример более нагляден. Можно например легко показать, что вероятность выигрыша становится 50 на 50, только если оставшиеся 2 литра смешать и зачерпнуть 1 литр заново. Или если ведущий не сливает воду (без рыбки), а наугад вычёрпывает из аквариума 98 литров (возможно с рыбкой).
Аналогии полезны, но они всегда более или менее неточны.
Это сообщение редактировалось 04.07.2008 в 19:11
2 Serge77: Вы лучше вот такую аналогию объясните. Берем мишень, стреляем, попадаем в центр. Или не в центр. Куда угодно. Вероятность этого события, как нетрудно показать, равна нулю: ибо количество возможных точек бесконечно, а "результирующая" точка - одна. Т.е. при каждом попадании в цель случается невероятное событие, правда?
Да, пользоваться формулой не проблема ;^))
Но по ходу вывода часто возникают вопросы "а почему именно так?". Может быть, сильно напрягшись, я бы и сам на эти вопросы ответил, но задачу проверить математиков я себе не ставил ;^))
Но по ходу вывода часто возникают вопросы "а почему именно так?". Может быть, сильно напрягшись, я бы и сам на эти вопросы ответил, но задачу проверить математиков я себе не ставил ;^))
Количество точек конечно, потому что они имеют размер.
Serge77> Да, пользоваться формулой не проблема ;^))
Serge77> Но по ходу вывода часто возникают вопросы "а почему именно так?". Может быть, сильно напрягшись, я бы и сам на эти вопросы ответил, но задачу проверить математиков я себе не ставил ;^))
Так чего, в тервере в этом смысле все просто - количество благоприятных исходов делим на количество возможных. В формуле та часть, что (n-1)/n значит вероятность того, что первым шагом вы укажете на "пустую" дверь, а 1/(n-m-1) значит вероятность выбора автомобиля когда несколько дверей уже "вышло из игры" (одну дверь "открыли" вы сами первым шагом, а еще m дверей открыл ведущий).
Serge77> Но по ходу вывода часто возникают вопросы "а почему именно так?". Может быть, сильно напрягшись, я бы и сам на эти вопросы ответил, но задачу проверить математиков я себе не ставил ;^))
Так чего, в тервере в этом смысле все просто - количество благоприятных исходов делим на количество возможных. В формуле та часть, что (n-1)/n значит вероятность того, что первым шагом вы укажете на "пустую" дверь, а 1/(n-m-1) значит вероятность выбора автомобиля когда несколько дверей уже "вышло из игры" (одну дверь "открыли" вы сами первым шагом, а еще m дверей открыл ведущий).
Serge77> Количество точек конечно, потому что они имеют размер.
Нет, неправда. Пробоины имеют размер, конечно, но пробоина с центром в 0,0 не равна пробоине с координатами 0,0.0000000001. Даже если размер пули - 10x10. Т.е. различных вариантов попадания - бесконечно, хотя многие из них "пересекаются". Ну, если на физический уровень спуститься, то там, конечно всякие квантовые эффекты и прочее, но в любом случае, вероятность попадания в ту точку, в которую вы только что попали очень близка к нулю даже в физическом мире. Ну, вместо "невозможное" можно сказать "практически невозможное". Вероятность того, что вы бросите перышко, а его попутными потоками донесет до вашего друга в Нью-Йорке - куда как выше, чем вероятность попадания в ту точку, в которую вы последний раз попали. И при том - каждый раз, когда вы стреляете вы таки попадаете в какую-то точку, и каждый раз вероятность попадания в эту точку - практически ноль. Аналогия?
Нет, неправда. Пробоины имеют размер, конечно, но пробоина с центром в 0,0 не равна пробоине с координатами 0,0.0000000001. Даже если размер пули - 10x10. Т.е. различных вариантов попадания - бесконечно, хотя многие из них "пересекаются". Ну, если на физический уровень спуститься, то там, конечно всякие квантовые эффекты и прочее, но в любом случае, вероятность попадания в ту точку, в которую вы только что попали очень близка к нулю даже в физическом мире. Ну, вместо "невозможное" можно сказать "практически невозможное". Вероятность того, что вы бросите перышко, а его попутными потоками донесет до вашего друга в Нью-Йорке - куда как выше, чем вероятность попадания в ту точку, в которую вы последний раз попали. И при том - каждый раз, когда вы стреляете вы таки попадаете в какую-то точку, и каждый раз вероятность попадания в эту точку - практически ноль. Аналогия?
Согласен.
Так а что объяснять? Не вижу проблемы. Стреляешь - попадаешь, сам видел ;^))
Так а что объяснять? Не вижу проблемы. Стреляешь - попадаешь, сам видел ;^))
Serge77> Согласен.
Serge77> Так а что объяснять? Не вижу проблемы. Стреляешь - попадаешь, сам видел ;^))
Так попадание невозможно, вероятность-то равна нулю. Как вы это объясните?
Serge77> Так а что объяснять? Не вижу проблемы. Стреляешь - попадаешь, сам видел ;^))
Так попадание невозможно, вероятность-то равна нулю. Как вы это объясните?
Я химик, я не объясняю, я попадаю ;^))
Serge77> Ну вот, два математика - и два решения ;^))
Решение одно. Задачи две — исходная и обобщённая. И там, и там вполне строго.
Serge77> Спасибо обоим. Было интересно посмотреть, насколько строгое доказательство будет убедительнее, чем то, что до сих пор предлагалось "на пальцах". Оказалось не убедительнее, потому что не всё понятно.
Убедительно на все 100%.
И даже больше.
Serge77> Всё-таки мой пример более нагляден. Можно например легко показать, что вероятность выигрыша становится 50 на 50, только если оставшиеся 2 литра смешать и зачерпнуть 1 литр заново. Или если ведущий не сливает воду (без рыбки), а наугад вычёрпывает из аквариума 98 литров (возможно с рыбкой).
Так про это в вике и сказано. Только непонятно, что делать, если рыбку он зачерпнул. Предалагать выбрать уже будет бесмысленно. А вероятность такого события будет очень велика — 98/100.
Решение одно.
Задачи две — исходная и обобщённая. И там, и там вполне строго.Serge77> Спасибо обоим. Было интересно посмотреть, насколько строгое доказательство будет убедительнее, чем то, что до сих пор предлагалось "на пальцах". Оказалось не убедительнее, потому что не всё понятно.
Убедительно на все 100%.
И даже больше.Serge77> Всё-таки мой пример более нагляден. Можно например легко показать, что вероятность выигрыша становится 50 на 50, только если оставшиеся 2 литра смешать и зачерпнуть 1 литр заново. Или если ведущий не сливает воду (без рыбки), а наугад вычёрпывает из аквариума 98 литров (возможно с рыбкой).
Так про это в вике и сказано. Только непонятно, что делать, если рыбку он зачерпнул.
Предалагать выбрать уже будет бесмысленно. А вероятность такого события будет очень велика — 98/100.
Mishka> Так про это в вике и сказано. Только непонятно, что делать, если рыбку он зачерпнул.
На троих употребить, с водным раствором этанола? По-нашему, по-химикоматематически.
На троих употребить, с водным раствором этанола? По-нашему, по-химикоматематически.
Mishka> непонятно, что делать, если рыбку он зачерпнул. Предалагать выбрать уже будет бесмысленно. А вероятность такого события будет очень велика — 98/100.
Точно, тут вероятность выигрыша будет не 50 на 50, в смысле 1/2, а 1% или 1%, если оставит свой литр или возьмёт оставшийся в аквариуме. Т.е. вероятность выигрыша одинаковая, независимо от того, поменяет он литр или нет, но одинаково маленькая.
Предалагать выбрать уже будет бесмысленно. А вероятность такого события будет очень велика — 98/100.Точно, тут вероятность выигрыша будет не 50 на 50, в смысле 1/2, а 1% или 1%, если оставит свой литр или возьмёт оставшийся в аквариуме. Т.е. вероятность выигрыша одинаковая, независимо от того, поменяет он литр или нет, но одинаково маленькая.
Serge77, а что тебе не понятно в описании задачи Сергеем. Просто интересно. Смотри, как нас учили.
1. Вероятность от всего пространства событий должна быть 1.
2. Вероятность от пустого — 0.
Всего у нас N дверей. Мы предпологаем, что может быть спрятана машина за любой дверью с равной вероятностью. Что приводит нас к к формуле для угадывания одной двери
. Значит событие, что не угадаем или того, что машина находится за одной из оставшихся дверей 
, где 
— вероятность угадать машину на нашем первом шаге, а 
— не угадать на нашем втором шаге.
Теперь посмотрим в качестве проверки, чему будет равна вероятность от обоих событий. По идее, должна быть 1 —
. Всё пока сходится.
Надеюсь, что пока понятно?
Далее, ведущий открыл
дверей, за которыми нет машины, и предложил выбрать ещё раз. В случае, если осталась одна дверь — получим исходную задачу. Понятно, почему число должно быть меньше, чем 
— больше мы физически не сможем открыть, а, если откроем все, то игры не будет.
У ведущего было дверь. открыл. Осталось 
. Так? Какова вероятность угадать машину за этими дверями при всё том же предположении, что вероятность распределена равномерно? Правильно, 
, не угадать 
. Опять проверим, 
. Всё хорошо.
Осталось соединить два случая и посмотреть на вероятности. Если во второй раз человек остался с выбором, то вероятность так и будет
. А вот, если сменил, то вероятности перемножаются 
. Вероятность, что неугадаешь 
Вот у нас вышло три случая
1. Выбрали дверь и не сменили.
2. Выбрали дверь, сменили и угадали.
3. Выбрали дверь, сменили и не угадали.
Итого, полная вероятность
. Опять 1 для полной.
1. Вероятность от всего пространства событий должна быть 1.
2. Вероятность от пустого — 0.
Всего у нас N дверей. Мы предпологаем, что может быть спрятана машина за любой дверью с равной вероятностью. Что приводит нас к к формуле для угадывания одной двери
Теперь посмотрим в качестве проверки, чему будет равна вероятность от обоих событий. По идее, должна быть 1 —
Надеюсь, что пока понятно?
Далее, ведущий открыл
У ведущего было
Осталось соединить два случая и посмотреть на вероятности. Если во второй раз человек остался с выбором, то вероятность так и будет
Вот у нас вышло три случая
1. Выбрали дверь и не сменили.
2. Выбрали дверь, сменили и угадали.
3. Выбрали дверь, сменили и не угадали.
Итого, полная вероятность
Это сообщение редактировалось 24.06.2008 в 00:38
Mishka> У ведущего было дверь. открыл. Осталось . Так?
Нет, не так. Было N дверей, открыли N-2 двери. Осталось 2 двери. Какова вероятность угадать машину за этими дверями при всё том же предположении, что вероятность распределена равномерно? Правильно, 1/2.
Видишь, как легко ;^))
Вся проблема именно в том, чтобы решить, почему твоя череда формул верна, а моя нет.
Просто череда формул на этот вопрос ответа не даёт, потому что остаётся именно тот вопрос, о котором я писал - "а почему именно так?".
Нет, не так. Было N дверей, открыли N-2 двери. Осталось 2 двери. Какова вероятность угадать машину за этими дверями при всё том же предположении, что вероятность распределена равномерно? Правильно, 1/2.
Видишь, как легко ;^))
Вся проблема именно в том, чтобы решить, почему твоя череда формул верна, а моя нет.
Просто череда формул на этот вопрос ответа не даёт, потому что остаётся именно тот вопрос, о котором я писал - "а почему именно так?".
Serge77> Вся проблема именно в том, чтобы решить, почему твоя череда формул верна, а моя нет.
Потому, что в Мишкином и моем случае все выражения типа "отношение числа благоприятных исходов к числу возможных" - "корректные" в смысле тервера, потому как вероятность каждого "возможного" исхода равна. В твоем случае - нет.
Потому, что в Мишкином и моем случае все выражения типа "отношение числа благоприятных исходов к числу возможных" - "корректные" в смысле тервера, потому как вероятность каждого "возможного" исхода равна. В твоем случае - нет.
Copyright © Balancer 1997..2018
Создано 07.06.2008
Связь с владельцами и администрацией сайта: anonisimov@gmail.com, rwasp1957@yandex.ru и admin@balancer.ru.
Создано 07.06.2008
Связь с владельцами и администрацией сайта: anonisimov@gmail.com, rwasp1957@yandex.ru и admin@balancer.ru.
