Да, и Фейнмана я всё-таки поцитирую полностью. А мнение Ландау о том, как надо и как не надо обучать физиков математике, тоже уже все вроде знают
Да, конечно, можно сказать, что эти истории относились к тому времени, когда он был еще совсем юным студентом, но тем не менее. Тем более что он рассказывал о них спустя много лет.
Первая история - отличная иллюстрация того, насколько "специальные" примеры математиков, к-е они считают столь важными, соотносятся - или, вернее, не соотносятся - с "математической практикой" физика.
(Кстати, я к своему большому сожалению, не знаю док-ва парадокса Банаха-Тарского. А лучше бы доказали эту прикольную и совершенно неочевидную вещь, чем долго и нудно доказывать кучу очевидных...)
Вторая история, с лекалами - ИМХО, просто образцова. Очевидно, что тех студентов учили "правильно". Результат - ожидаем
А если бы им показали и наглядные "доказательства", с линейкой и "выпиленными лобзиком" функции - ну разве фишка с лекалом могла бы вызвать такой ажиотаж?
...Мы, физики, смеялись, пытаясь вычислить, о чем они говорят. Мы решили,
что "тривиально" означает "доказано". И мы подшучивали над математиками: "У
нас есть новая теорема: математики могут доказывать лишь тривиальные
теоремы, потому что каждая доказанная теорема - тривиальна".
Математикам не понравилась эта теорема, и я дразнил их этим. Я говорил,
что вовсе нет ничего удивительного в том, что математики могут доказывать
только очевидные вещи. А топология была не совсем очевидна для математиков.
Очень много в ней таинственных возможностей, идущих вразрез с интуицией.
Потом у меня появилась идея бросить им вызов: "Держу пари, нет ни одной
теоремы -если я смогу понять ее условия и если она имеет предположения, -
про которую я не мог бы сказать сразу, верно это предположение или ложно".
Часто выходило так: они объясняли мне, "У тебя есть апельсин, так? Ты
разрезаешь его на конечное число частей, собираешь снова, и он становится
таким же большим, как солнце, Верно или неверно?"
"И никаких дырок?"
"Никаких дырок".
"Невозможно. Такого не бывает".
"Ха! Попался! Все слышали?! Это такая-то теорема о неизмеримых мерах
(immeasurable measures)!"
Но только они решили, что я попался, как я напомнил им: "Но вы сказали,
апельсин! Вы не можете разрезать корку апельсина тоньше, чем на атомы!"
"Но у нас есть условия непрерывности, мы можем его так резать".
"Но вы сказали, апельсин. И я предположил, что имеется в виду настоящий
апельсин". Так я всегда побеждал. Если я угадывал что-то правильно, было
здорово. Если не угадывал, то всегда мог обнаружить что-то в их упрощенных
условиях, чего они не замечали сами.
На самом деле, существовало определенное обоснование подлинного
качества моих разгадок. У меня была схема, которую я использую по сей день,
когда кто-нибудь объясняет мне что-то, что я пытаюсь понять. Я приведу
пример: математики приходят ко мне с какой-нибудь ужасающей теоремой, они
здорово взволнованы. Пока они говорят мне условия теоремы, я конструирую в
уме что-то, что подходило бы к этим условиям. Допустим, я представляю, что у
меня есть мяч, разделяю его и получаю два мяча. Затем мячи меняют цвет,
обрастают волосами, или что-то еще с ними происходит в моей голове, что
больше соответствует условиям. В итоге, они и формируют теорему, которая
выглядит, как какая-то глупость про мячи и не похожа на мой зеленый
волосатый мяч, и тогда я говорю: "Неверно".
Если же это не так, то они приходят в возбуждение и покидают меня на
какое-то время. Но потом я предъявляю им свой контраргумент.
"О! Мы забыли сказать тебе, что это из второго урока - Гомоморфное
Хаусдорфово пространство".
"Ну, тогда, - говорю я, - это тривиально!" К тому времени я уже
понимаю, к чему они клонят, хотя не имею представления о том, что такое
Гомоморфное Хаусдорфово пространство.
Я угадал большую часть того, что мне предлагали, хотя математики и
думали, что их топологические теоремы не соответствуют интуиции. Они вовсе
не были так трудны, какими казались. Можно было приобрести много забавных
вещей из этого "превосходного бизнеса" и выполнять столь милую работу -
разгадывать подобные загадки.
...
Когда я был в Массачусетском технологическом институте, я часто любил
подшучивать над людьми. Однажды в кабинете черчения какой-то шутник поднял
лекало (кусок пластмассы для рисования гладких кривых - забавно выглядящая
штука в завитушках) и спросил: "Имеют ли кривые на этих штуках какую-либо
формулу?"
Я немного подумал и ответил: "Несомненно. Это такие специальные кривые.
Дай-ка я покажу тебе. - Я взял свое лекало и начал его медленно
поворачивать. -
Лекало сделано так, что, независимо от того, как ты его
повернешь, в наинизшей точке каждой кривой касательная горизонтальна".
Все парни в кабинете начали крутить свои лекала под различными углами,
подставляя карандаш к нижней точке и по-всякому прилаживая его. Несомненно,
они обнаружили, что касательная горизонтальна. Все были крайне возбуждены от
этого открытия, хотя уже много прошли по математике и даже "выучили", что
производная (касательная) в минимуме (нижней точке) для любой кривой равна
нулю (горизонтальна). Они не совмещали эти факты. Они не знали даже того,
что они уже "знали".
Я плохо представляю, что происходит с людьми: они не учатся путем
понимания. Они учатся каким-то другим способом - путем механического
запоминания или как-то иначе. Их знания так хрупки!