Является ли вероятность "нормальной" физической величиной?, Алимов Ю.И., Кравцов Ю.А.
// ufn.ru
Словом, с точки зрения экспериментатора, статистическая вероятность
p(A) выступает как частный случай математического ожидания. Это согла?
суется с относительно новой тенденцией строить теорию вероятности не на
основе вероятностной меры, как в теоретико?множественной аксиоматике
Колмогорова, а на базе операции усреднения. Эта тенденция наиболее полно
выражена в книге X. Уиттла [19]. Для полноты картины укажем измерение
распределения вероятностей случайной величины: оно фактически сводится
к измерению конечного набора вероятностей, т.е. опять?таки к измерению
математических ожиданий.
В соответствии со свойствами математического ожидания при увеличении
длины выборки (и при однородности условий испытаний U) разброс величины
p(A) часто уменьшается. Это согласуется с частотной концепцией Р. Мизеса
[20]. Можно только согласиться с мнением В.Н. Тутубалина, что «условия
практической применимости теории вероятности сейчас трактуются по Р. Ми?
зесу» [21, с. 143].
Вообще, мизесовское построение теории вероятностей не вписывается в
аксиоматику А.Н. Колмогорова [22]. Критика этой аксиоматики содержится,
в частности, в работах [12, 13, 23, 24], принадлежащих одному из авторов
данной статьи.
Сосуществование абстрактного теоретико?множественного подхода
А.Н. Колмогорова и частотной интерпретации Р. Мизеса, ориентированной
на эксперимент, приводит и к обратному процессу — переносу допущений,
принятых в теоретико?множественных построениях, в сферу действия прак?
тической статистики. На деле это означает, например, домысливание ансамбля
значений (генеральной совокупности) к ограниченной выборке, по?
лученной в эксперименте. Ясно, что такое домысливание ансамбля к конк?
ретному эксперименту открывает широкие возможности для произвола, если
не для злоупотреблений, и далеко не всегда ведет к положительным резуль?
татам.
В прикладной теории вероятностей случайными теперь принято на-
зывать только те непредсказуемые величины, подвыборочные средние которых
обнаружили в эксперименте устойчивость. Стало быть, математическое ожи-
дание существует (точнее, считается существующим) не у всякой непредска-
зуемой величины, а только у случайной величины.
Результат эмпирического оценивания устойчивости средних бывает и от-
рицательным: интервал в прогнозе (4.9) иногда оказывается слишком большим
для того, чтобы можно было переходить к точечной оценке (4.10). Если же
Q мало, то дело вообще не доходит до принятия прогноза (4.9). За непред-
сказуемыми величинами, подвыборочные средние которых не признаны по
результатам эксперимента устойчивыми, уже закрепилось название неопре-
деленные величины [21, с. 6 — 7; 144,145; 26, с. 24]. У таких величин попросту
нет определенного математического ожидания, точнее, его существование
представляется сомнительным. Здесь складывается примерно такая же ситу-
ация, как при упоминавшейся выше попытке измерить единственное истинное
значение диаметра тела, форма которого, как выясняется в ходе эксперимента,
заметно отлична от шаровой.
В литературе встречаются высказывания типа «если испытания однород?
ны, то статистическая устойчивость налицо». Подобное высказывание явля?
ется осмысленным, очевидно, лишь тогда, когда имеется в виду однородность
(т.е. постоянство) контролируемых условий эксперимента. Говорить о по?
стоянстве всех условий эксперимента абсурдно.
Однако факты указывают на то, что иногда рад существенных обетоя-
тельств выпадает из поля зрения экспериментатора. И тогда устойчивости —
даже статистической — нет, хотя все контролируемые условия экспе?
римента постоянны.
Такое случается даже в фундаментальной физике, где эксперименты в
целом значительно чище, чем в других областях. В лаборатории Резерфорда
результаты эксперимента с новым радиоактивным веществом однажды стали
форменно хаотичными, хотя условия эксперимента выглядели, как и раньше.
Исследователи не сразу догадались, что новое вещество — газ (теперь его
называют радоном). Все ранее открытые радиоактивные вещества газообраз?
ными не были. Условия эксперимента были дополнительно рафинированы:
устранили сквозняки, перестали поблизости курить. После этого статистиче?
ская устойчивость восстановилась.
Экспериментатор никогда полностью не гарантирован от подобных нео?
жиданностей. В технике (например, в проблемах надежности и управления
качеством [26, с. 24 — 27; 16]) неопределенные величины, к сожалению, не
редкость. По?видимому, еще чаще с ними приходится иметь дело в экономике
и социологии. По данной причине Н. Винер даже исключал эти области из
сферы компетенции кибернетики как высоко математизированной «межот?
раслевой» дисциплины. В своем последнем научном мемуаре [28] он писал:
«Успехи математической физики вызывали у социологов чувство ревности к
силе ее методов, чувство, которое едва ли сопровождалось отчетливым пони?
манием интеллектуальных "истоков этой силы... Подобно тому, как некоторые
отсталые народы заимствовали у Запада его обезличенные, лишенные наци?
ональных примет одежды и парламентские формы, смутно веря, будто эти
магические облачения и обряды смогут их сразу приблизить к современной
культуре и технике, так и экономисты принялись облачать свои весьма не?
точные идеи в строгие формулы интегрального и дифференциального исчис?
лений... Как ни труден отбор надежных данных в физике, гораздо сложнее
собрать обширную информацию экономического или социологического ха?
рактера, состоящую из многочисленных серий однородных данных [курсив
наш. — Авт.]. В этих обстоятельствах безнадежно добиваться слишком точ?
ных определений величин, вступающих в игру. Приписывать таким неопре?
деленным по своей сути величинам какую?то особую точность бесполезно, и,
каков бы ни был предлог, применение точных формул к этим слишком вольно
определяемым величинам есть не что иное, как обман и пустая трата времени».
...Фишеровская математическая статистика не принимает во внимание эту
естественную иерархию задач оценивания. Она предлагает, можно сказать,
кое-как проверять сходство между упомянутыми выборочными и гипотети-
ческим распределениями, а затем считает допустимым основывать на резуль?
татах такой грубой проверки дальнейшие достаточно сложные умозаключения
теории фишеровских доверительных интервалов. Приведем в данной связи
высказывание И. Грековой (литературный псевдоним Е.С. Вентцель — изве?
стного специалиста по авиационным приложениям теории вероятностей): для
вычисления ФДИ «разработан довольно тонкий аппарат, основанный на до-
пущении, что нам известен закон распределения наблюдаемой случайной ве-
личины (нормальный). И опять возникает вопрос: а откуда, собственно, это
известно? И с какой точностью? И какова, наконец, практическая ценность
самого «продукта» — доверительного интервала? Мало опытов — значит, мало
информации, и дело наше плохо. А будет при этом доверительный интервал
немного больше или меньше, не так уж и важно, тем более что и доверительная
вероятность назначена произвольно» [31, с. 111] (последние фразы в приве?
денном высказывании намекают на то, что теория ФДИ ориентирована прежде
всего на «обсчет» малых выборок).
Классические вероятности. Вероятности, отвечающие
классическому определению (отношение числа благоприятных исходов к пол-
ному числу возможных исходов), с современной точки зрения выступают про-
сто как простейшие гипотезы относительно частоты появления в идеализи?-
рованных системах — монета, игральный кубик и т.д.
В зависимости от условий проведении эксперимента реальные частоты
появления могут быть отличными от классических. Так, фактические резуль-
таты зависят от положения центра тяжести игрального кубика, oт площади
его граней, от сглаженности углов, от качества поверхности стола и от других
физических характеристик объекта и эксперимента. Кроме того, как недавно
проанализировал Дж. Келлер на примере бросания монеты, результат зависит
от начальных линейной и угловой скоростей бросания [33]. Как выяснилось,
равновероятность выпадения герба и решетки выполняется только асимпто-
тически, при больших начальных скоростях.
Фикции закона больших чисел. В физической литературе
до сих пор господствует убеждение, что с ростом числа испытаний (длины
выборки) N в силу центральной предельной теоремы относительная частота
стремится к своему пределу, который и представляет собой эмпирическую
вероятность. Между тем эксперименты сплошь и рядом свидетельствуют о
том, что при больших N рассеяние данных не уменьшается, а начиная с не?
которого значения N0, наоборот, увеличивается. Наиболее полное и деловое
изложение этой проблемы дано П.Е. Эльясбергом [26].
Если не гнаться за точностью формулировок, причина увеличения рас?
сеяния заключается в том, что при N > N0 становится заметной системати?
ческая ошибка, обусловленная тем, что в базовой гипотезе не был учтен ка?
кой?либо существенный фактор, который на первых порах, при малом объеме
выборки, давал незначительный вклад, а затем, по мере накопления данных,
становился все более заметным
Таким образом, если модель явления не включает какой-то существенный
систематический фактор, то увеличение объема выборки вовсе не обязательно
влечет за собой уменьшение рассеяния.
Другой возможной причиной неубывания (или недостаточно быстрого
убывания) рассеяния может оказаться характер флуктуаций. Условия, пре?
дусматриваемые центральной предельной теоремой, хотя и не чересчур об?
ременительны, но все же удовлетворяются отнюдь не автоматически. Поэтому
верификация условий применимости центральной предельной теоремы во
многих случаях является не только желательной, но просто обязательной про?
цедурой.
Можно констатировать, таким образом, что уменьшение флуктуаций с
ростом N, рассматриваемое как физический факт, не является тривиальным
следствием центральной предельной теоремы, а имеет место только при вы?
полнении определенных условий, требующих специального контроля.
Физический эксперимент и концепция алгоритми-
ческой сложности. Система соглашений возникает не только при из-
мерении вероятностей, но даже на еще более ранней стадии — на этапе оп-
ределения понятия случайности. Теоретико-множественный подход относит
к случайным величины, снабженные вероятностной мерой. Прикладная тео-
рия вероятностей выделяет класс случайных величин по признаку устойчи-
вости статистических характеристик.
Алгоритмическая теория вероятности [34, 35] отождествляет случайность
с алгоритмической сложностью. Наконец, в теории частично?детерминиро?
ванных процессов случайность трактуется как непредсказуемость [36]. Как
видим, даже в вопросе о том, что называть случайным, имеется по крайней
мере несколько соглашений (более полный список см. в [36]).
...
Несмотря на всю привлекательность концепции случайности как алго?
ритмической сложности, предложенной А.Н. Колмогоровым [34] и развитой
его последователями, в целом она вряд ли представляет интерес для проблемы
физических измерений.
...
Во-вторых, концепция случайности как алгоритмической сложности про-
тиворечит тому взгляду на природу явлений, который развивает физика. Ес-
тествоиспытателю трудно признать последовательность (процесс) случайной,
если ее алгоритм известен, хотя и сложен.
В-третьих, имеется едва ли преодолимая трудность, связанная с наличием
шумов при измерениях. При физических измерениях, как правило, произво?
дится фильтрация (дискриминация) шумов, иначе объектом измерения будут
шумы, а не исследуемый процесс. При алгоритмическом подходе, если его
приложить к измерениям, различие между шумом и измеряемым процессом
не производится, во всяком случае нам такие попытки не известны. В итоге
даже при относительно простом алгоритме самого исследуемого процесса смесь
«сигнал + шум» приобретает сложность шума.
«Ненормальность» эмпирической вероятности и математического ожи-
дания заключается в том, что они больше, чем другие физические величины,
нагружены условностями и гипотезами, которые требуют специальной про-
верки (верификации).