Задача о двух конвертах

Не знаю была ли эта задача тут уже или нет...Если да-извиняюсь
Итак, есть запечатанных два конверта. В одном из них-некая сумма денег, в другом-в два раза больше.
Предположим вы выбрали первый конверт. Какова средняя сумма денег во втором конверте?

Сформулируй задачу чётче. Что есть "средняя сумма денег" для одного конверта?

russo, May 22 2003, 05:19:

Не знаю была ли эта задача тут уже или нет...Если да-извиняюсь
Итак, есть запечатанных два конверта. В одном из них-некая сумма денег, в другом-в два раза больше.
Предположим вы выбрали первый конверт. Какова средняя сумма денег во втором конверте?

 

Вот уж формулировочка

Предположим, что в твоем конверте оказалось х денег, тогда в другом конверте либо 2х, либо х/2 монет. Средняя сумма денег в одном конверте будет (2х + х/2)/2 = 1,25х. Теперь к известной пословице о том, что в чужом огороде трава слаще мы можем совершенно справедливо добавлять, что слаще на 25%.

З.Ы. Не пинайе за решение. Какой вопрос, такой и ответ .

1.25x-это правельный ответ.


А теперь дилемма-КАКОЙ бы вы конверт не выбрали, во втором конверте скорее всего будет больше денег. Так что можно бесконечно перекладывать конверты, увеличивая конечную сумму денег


Шутка конечно. А вообще подумайте-если вы открываете первый конверт и там лежит 100 долларов, то имеет смысл сразу брать второй, так как В СРЕДНЕМ денег там будет больше

«Шутка конечно. А вообще подумайте-если вы открываете первый конверт и там лежит 100 долларов, то имеет смысл сразу брать второй, так как В СРЕДНЕМ денег там будет больше».


Во втором конверте денег будет или больше, или меньше. С вероятностью 1/2. Где смысл?

ED, May 24 2003, 01:21:

Во втором конверте денег будет или больше, или меньше. С вероятностью 1/2. Где смысл?

 

А смысл в том что там будет или 50 или 200 денег =) оба случая-с вероятностью в 50%. В первом случае теряете 50$, во втором-получаете ещё 100.

ЗЫ За формулировку извиняюсь =) разучился внятно писать

Тогда рассуждаем так:

Берём первый конверт. Какая сумма в нём, собственно не важно, всё равно выгоднее брать сразу второй. Поэтому первый конверт не распечатываем, хватаемся за второй. Но ведь в первом денег может оказаться больше. И даже как бы выгоднее взять первый, потеряем половину, а получим вдвое больше. Хватаем первый… Ну и так далее. Когда останавливаться?

Эх, жадность,жадность.

russo, May 23 2003, 22:35:

1.25x-это правельный ответ.


А теперь дилемма-КАКОЙ бы вы конверт не выбрали, во втором конверте скорее всего будет больше денег. Так что можно бесконечно перекладывать конверты, увеличивая конечную сумму денег


Шутка конечно. А вообще подумайте-если вы открываете первый конверт и там лежит 100 долларов, то имеет смысл сразу брать второй, так как В СРЕДНЕМ денег там будет больше

 

Вовсе нет. Не в "среднем". Так получается из-за того, что выгода от смены конверта выше. Лотерея некая выходит. Вероятность остается 50%.

Дело в том, что меняя конверт ты рискуешь потерять, в твоем примере, 50 баксов, а приобретаешь, в случае удачи — 100. Оправданный, в общем-то, риск.

ED: "Во втором конверте денег будет или больше, или меньше. С вероятностью 1/2. Где смысл?
"

Смысл заключается в лотерее.

"Тогда рассуждаем так"

Распечатать нужно, иначе просто выбор из двух конвертов получается.

"Распечатать нужно"


А зачем? Если всё равно мы заранее решили, что будем брать второй. Для морального удовлетворения?

>"Распечатать нужно"


А зачем? Если всё равно мы заранее решили, что будем брать второй. Для морального удовлетворения?





Дело в том, что в одном из конвертов в два раза больше денег, чем в другом. Когда конверты запечатаны — это просто "выбор" тот, или иной конверт. Взял первый, подумал, взял второй и т.д. Когда ты конверт распечатываешь, то ты у тебя есть только один переход. Ты можешь либо остаться со своим, условно скажем "первым", либо, отказавшись от него, взять "второй". Это уже чистая лотерея. Рискуешь половиной своей суммы, чтобы приобрести в два раза больше.

Давай рассмотрим это на примере рулетки:
Савишь 10 на красное, выигрываешь — получаешь 20, (твои 10 + 10 выигрыша), проигрываешь — теряешь все.

Наш случай:
В конверте оказалось 10 руб. Ты отказываешься от него в пользу второго конверта. Выиграл — у тебя 20 руб., а проиграл — 5. Т.е. с вероятностью 50% ты получишь в 4 раза больше, чем поставил на "кон".

Теорию игр я знаю не слишком хорошо, но кое-что помню.


Вопрос выбора стратегии (в нашем случае - брать первый или же второй конверт) обычно ставится в условиях, когда цена игры  (грубо говоря - ставка) известна заранее. А здесь условия таковы, что мы даже масштаба ставки не знаем!


Что получается? Здесь речь идет о двух разных стратегиях: до вскрытия первого конверта и после. То есть до игры ты можешь "твердо" решить: полезу во второй конверт, и точка. А откроешь первый, и... "ой, как много золота, моё-моё-моё!"


То есть мой ответ: если в первом конверте рублей сто (по нынешнему курсу) - выгодно брать второй. А если там миллион - надо брать первый и все.


Да, чуть не забыл. Первый вопрос был про "среднюю сумму во втором конверте". Но понятие "среднее" имеет смысл лишь при многократных повторениях. А условие заранее поставлено так, что событие - разовое (сумма-то неизвестна). 

2 airbase.ru/forums/index.php?s=&act=Profile&CODE=03&MID=1668El'Espina[/URL]      [/span]Всё равно меня гложут смутные сомненья. (Иван Васильевич Бунша).

Сначала решим задачу 1: лежат два конверта, в одном из них денег в два раза больше чем в другом. Какой выгоднее взять? Очевидный ответ – любой.

Теперь решаем задачу 2: лежат два конверта, в одном из них денег в два раза больше чем в другом. Берём в руки один конверт. Стоит ли сразу поменять его на другой (не вскрывая)? Как мне кажется, эта задача аналогична первой, можно поменять, можно и нет, выгода одинаковая. Теперь рассмотрим рассуждения airbase.ru/forums/index.php?s=&act=Profile&CODE=03&MID=853russo[/URL]:[/span] «если вы открываете первый конверт и там лежит 100 долларов, то имеет смысл сразу брать второй, так как В СРЕДНЕМ денег там будет больше». Причём совершенно не важно, сколько конкретно денег в первом конверте, 100 долларов, 100 рублей, 100 тугриков или 100 х. Всё равно выгоднее взять второй. Вроде бы всё логично и поменять конверт выгоднее. В чём же разница такой формулировки с задачей 2. Ответ вроде бы очевиден. airbase.ru/forums/index.php?s=&act=Profile&CODE=03&MID=853russo[/URL][/span]конверт вскрыл и узнал количество денег в нём, а во второй задаче конверт не вскрывали.То есть если я знаю (неважно как, вскрыв конверт, просветив его рентгеном, пригласив экстрасенса и т.д.) количество денег в первом конверте, то выгодно его поменять, а если не знаю, то выгоды от замены не будет. Но! Когда во второй задаче я беру первый конверт в руки, то я ЗНАЮ количество денег в нём. Вот такой я волшебник. В этом конверте обязательно будет 100х денег (х – любое число). И поменяв конверт, я потеряю 50х денег или приобрету 100х. Выгоднее менять. То есть, не изменив условия задачи 2, а лишь изменив рассуждения, я получил другой ответ.

Где засада?

ED Где засада?

В теорвере .

Пусть у тебя есть 5 конвертов в которых лежит по 20 зеленых американских рублей.
Ты можешь все их оставить себе и у тебя будет 100$. Но ты можешь заменить их все (для простоты рассчетов) на другие конерты, причем в 50% случаев в них будет лежать 10$, а в другой половине случаев 40$. Таким образом, при замене конвертов у тебя окажется величина в 50, 80, 110, 140, 170, 200$. Разумеется, вероятность получить 110 и 140$ выше, чем вероятность получить 50 и 200. То есть начиная со 110$ мы оказываемся в выигрыше, а совокупная вероятность попасть в выигрышную категорию 110--200 больше, чем оказаться в ауте 50--80.

2 airbase.ru/forums/index.php?s=&act=Profile&CODE=03&MID=1668El'Espina[/URL]. [/span]То, что засада в тервере, а не в сольфеджио, я понимаю. Хотелось бы конкретнее.

Давай рассмотрим твои 5 конвертов. Только предлагаю 5 заменить на 2, разницы ведь никакой, а цифра чётная и маленькая. Итак, если мы эти 2 конверта с 20 баксами в каждом (итого 40 баксов) поменяем на другие, то среднестатистически получим 10+40=50 долларов. Выгодно!

Но только заданное условие несколько другое. У нас есть 2 ПАРЫ (a,b) конвертов. В них лежит 10a,20a,10b,20b  денег. Будем действовать строго по условию. Возьмём по одному конверту из каждой пары и вскроем их. Там будет лежать сумма 10a+20b. Теперь заменим эти конверты на другие. Там будет лежать сумма 20a+10b. Для наглядности вычтем первую сумму из второй. Получим 10a-10b. Ты можешь доказать, что эта сумма вероятнее всего будет положительной? Я нет. А вот доказать, что эта сумма вероятнее всего равна нулю, могу попробовать.

А вот, собственно:

У нас есть 2 ПАРЫ (a,b) конвертов. В них лежит 10a,20a,10b,20b  денег. Будем действовать строго по условию. Возьмём по одному конверту из каждой пары и вскроем их. Рассмотрим все возможные варианты, их 4:

10a+10b, 20a+10b, 10a+20b, 20a+20b, всреднем (60a+60b)/4=15a+15b

Теперь заменим эти конверты на другие. Там будет соответственно:  

20a+20b, 10a+20b, 20a+10b, 10a+10b, всреднем (60a+60b)/4=15a+15b

То есть ровно столько же.      

ED>То есть ровно столько же.

Вот чувствую же подвох, но где?..

Я посчитал "на пальцах" с пятью парами конвертов, получилось, что выгодно. Буду признателен, если укажешь мне ошибку в рассчетах. По твоей версии попробую посчитать утром...

По мне, так одна задача из теорвера, а вторая из теории игр - Аника прав.


И так, первая формулировка - Ед прав - вероятность равна. Во второй формулировке - опять-таки вероятность равна, но вес выигрыша гораздо больше - еще 100, а проигрыш всего 50. Поэтому стратегически это выгодно. Теперь немного подправим задачу. За право потянуть конверт платим 100. Тогда в первом случае мы на нуле. Ведь сначала заплатили 100, а потом получили 100. Стоит ли тянуть второй конверт? Давайте подсчитаем - платим 100, а получим либо 50, либо 200. Т.е. выигрышь от -50 до 100.  Средня ожидаемая сумма будет 25 (правильно? или я чего напутал?) И тут все еще выгодно.


Т.е. вероятности не меняются, а меняется стратегия поведения взависимости от риска. Если просто два конверта, бесплатных, то имеет смысл продолжать, т.к. в любом случае мы что-то получим.


И еще одна мысль. Пусть будет не x и 2x, а x и x-10. Тогда


( ( x - 10 ) + ( x + 10 ) )/ 2 = x. Экспоненциальная шкала вносит свою лепту в путаницу - т.к. разница x - x/2 != 2x - x.

Сформулирую в очередной раз задачу:

Лежат два конверта. В одном из них денег в два раза больше чем в другом. Возможны два сценария:

1.Берём один из конвертов наугад, вынимаем деньги (тут я ставлю метку, в этот момент мы держим в руках деньги, перед нами лежит один конверт, мы знаем, что в нём денег в два раза больше или в два раза меньше). Забираем деньги себе.

2.Берём один из конвертов наугад, вынимаем деньги (метка, до неё сценарий полностью совпадает с первым), деньги кладём на стол и берём конверт. Деньги из него забираем себе.

Какой из сценариев выгоднее? ИМХО без разницы.

Формулирую другую задачу:

Держим в руках деньги, перед нами лежит один конверт, мы знаем, что в нём денег в два раза больше или в два раза меньше (полностью повторяется ситуация первой задачи на момент метки). Возможны два сценария:

1.Деньги забираем себе.

2. Деньги кладём на стол и берём конверт. Деньги из него забираем себе.

Какой из сценариев выгоднее? ИМХО выгоднее второй.

Но ведь задачи почти одинаковые, после метки просто идентичные. Значит разница до метки. Что там так кардинально всё меняет?

Шанс получить деньги из второго конверта в 2 раза больше - 0.5 - в обоих вариантах.


Но в первом случае - все предопределено и поэтому никаких вариаций - иными словами  риска нет.


Во втором варианте - есть возможность попытаться рискнуть и получить больше. Вероятность этого события 0.5. Вот тут и вступает оценка риска - поскольку вероятность проиграть или выиграть одинаковая (на самом деле оценка риска должна вычисляться  и при разной вероятности), то начинаем считать - сколько проиграем с вероятностью 0.5 (оказывается всего лишь половину суммы уже полученной) и сколько выграем (оказывается еще такую же сумму) - при данном раскладе проигрыш в два раза меньше выигрыша - какие вопросы? Поэтому, я и предложил посчитать не в 3 раза меньше/больше, а на 10 меньше/больше.

ED, ты совершенно прав. Во всех приведенных примерах нужно останавливаться на первой полученной сумме. Вернее, "взять второй конверт" выгоды не приносит. Как ты считал, матожидание располагается как раз посередине. В моем примере с пятью конвертами больше вероятность получить небольшую прибыль, но зато потери при проигрыше будут, соответственно, выше. .

В данном случае конверт можно рассматривать как квантовый объект, квантовое число которого "сумма денег" (СД), может иметь только 2 состояния - 1х или 2х. Из условия задачи следует, что два конверта составляют квантовую систему, в которой оба конверта должны иметь различное сначение СД (принцип Паули). Вся засада состоит в том, что операция "вскрыть один конверт" не доставляет нам информации о том, в каком же состоянии находится конверт - 1х или 2х, и, значит, не меняет состояния системы. Узнать состояние одного из конвертов можно лишь вскрыв оба, но эта операция по условиям задачи является запрещенной. Следовательно, задача не имеет решения.

Я кажется нашёл где засада. Напомню задачу russo:

«Итак, есть запечатанных два конверта. В одном из них-некая сумма денег, в другом-в два раза больше. Предположим вы выбрали первый конверт. Какова средняя сумма денег во втором конверте?»

Мы как-то быстро согласились, что средняя сумма равна 1,25. Так вот, именно для этой задачи это неверно. Средняя сумма денег во втором конверте РАВНА средней сумме денег в первом конверте.

Во-первых, давать ответ о средней сумме, не зная распределения величины денег, нельзя. Если для подбрасываемой монетки априорно можно считать, что вероятность падения ее орлом или решкой 50/50, то про распределение "некой суммы денег" в конверте априори можно сказать лишь следующее: множество значений сумм дискретное (до копейки) и ограниченное сверху (чемодан денег в конверт не влезет). Следовательно, после вскрытия первого конверта однозначный вывод можно сделать в двух случаях:
1. В первом конверте сумма с нечетным числом копеек - второй конверт надо брать обязательно.
2. Сумма, вдвое большая, чем имеющаяся, уже не помещается в конверт - второй конверт брать не следует.
Во всех прочих случаях без дополнительной информации о распределении суммы ничего определенного сказать нельзя.