Загадка о максимальной площади

Какая плоская фигура обладает максимальной площадью, при условии, что между любыми двумя точками этой фигуры расстояние не больше 1?

Если не круг, то я попался на ровном месте

Интересует, конечно, доказательство .

Это круг. Исходя из определения, это могла бы быть фигура равной ширины, например выпуклый треугольник, но из всех фигур равной ширины у круга наибольшая площадь.

Доказательство в студию.

Хмм... доказательства... ладно!

Очевидно, что в любой плоской фигуре дальше всего друг от друга отстоят точки, расположенные на границе фигуры. Из соображений максимизации площади нам надо иметь ширину фигуры равной заданному расстоянию. Далее, применим принцип который я назвал бы 'правило острых углов' - любое локальное отклонение поверхности 'наружу' СОКРАЩАЕТ общую площадь за счет того, что от фигуры отрезается с другой стороны площадь бОльшая чем площадь появившегося куска. Доказывать, честно говоря, влом, но уверен что можно . А если исключить отклонения - мы получим именно круг

По-моему, что-то в таком вот роде:

Граница - дуги окружностей радиуса 1 с центрами в вершинах правильного треугольника.

И не просите у меня доказательств!!! <_<

Хотя, конечно, чушь спорол...

Ну... конкретно эта фигура - площадь просто берётся и вычисляется, и оказывается, что круг соответствующего диаметра больше площадью.

Я думаю, что правильный ответ - круг . Интересует доказательство...

Можно доказать через многоугольники (вписанные или описанные вокруг этого круга) - от противного, типа, допустим, что н-угольника площадь больше и т.д.
 Самое простое, по-моему, доказательство - из определения, что окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (скажем, на 0,5), а значит, любая фигура, отвечающая требованию "не дальше 0,5 от заданной точки" (для совмещения центров этой фигуры и нашего круга) окажется нарисованной внутри площади, ограниченной этим кругом.
 Хотя, похоже, не совсем чистое это доказательство. В таком случае, остаются 2 вышеуказанных.

я бы поискал где-то в районе задачи дидоны.

2 Bredonosec:
всё правильно, теперь шаг за малым - доказать, что то что "внутри" меньше по площади чем то что "снаружи".

www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/352.html
http://www.ioffe.org/register/?doc=physica2/lect28.tex

В общем, там задача Дидоны упоминается. Я вообще в этом не рублю, но вроде это вариационное исчисление в общем случае будет. Принцип наименьшего действия.

Наиболее взаимноудаленные точки д.быть на границе искомой фигуры. Поскольку требуется максимальная площадь, то ясно, что отрезки, соединяющие любые 2 точки на границе должны целиком принадлежать фигуре, т.е. она односвязная, выпуклая по самое немогу. А раз так, то ее геом. центр принадлежит ей тоже. Т.е. бублики и кренделя не берем, потому что дырки площадь уменьшают, а от их заполнения расст-я между точками не увеличиваются.

Ужасно влом доказывать, что у любой выпуклой плоской односвязной фигуры есть геом. центр, причем единственный. Это ж почти как доказывать, что у всех тел есть центр тяжести. Т.е. в принципе надо, но лень.

Ну, раз расст-е м/у любыми точками фигуры не может превышать 1, то не должно превышать 1 и расст-е между любыми точками на границе, соединяемыми ч-з центр масс. Т.е. расст-е от центра масс до любой точки на границе не имеет права превышать 0.5. Хотим макс. площадь,=> рисуем фигуру с границей, отстоящей от центра масс(нек. точки) на расст-и 0.5. Ой, что это?! Круг получился, с единичным диаметром!

Строгое оформление оставим математикам.

Не понял определение геом. центра. У прямоугольника где он?

У прямоугольника он в центре. Прямо в точке пересечения диагоналей. У центра такое свойство, что если от него провести отрезок к любой точке границы, а потом этот же отрезок отложить от центра в противоположную сторону, то он вторым концом тоже точно угодит в границу. Я просто определением воспользовался.

как предложивший существование центра многоугольника, не можете ли вы подсчитать расстояние от "центра" до вершины и от "центра" до "грани " треугольника рело (см. иллюстрацию к треду выше).


вообще, для трегольника навскидку "центров" три - пересечение:
-медиан - центр масс и вписанной окружности
-биссектрисс - центр описанной окружности
-высот

1) Центр масс имелся в виду.
2) Базовый треугольник, на котором строится треугольник Рело вообще-то равносторонний. Все ваши центры для него совпадают, считать ничего не надо. Медианы в нем пересекаются в одной точке, делясь на отрезки, длины которых относятся как 2:1. Так что мое 'д-во' уже не работает.
Фигня-с.

Почему доказательство не работает?

Потому что центр масс не есть геом. центр такой, как я хотел. См. равносторонний треугольник. Любая сторона в 2 раза ближе к нему, чем противоположная ей вершина. А я-то губу раскатал на равенство таких расстояний. Эх, заглючило меня.

вот и я о том же. если в задаче есть диаметр, то однозначно и корректно перескочить на радиус не всегда получится.

Да уж... Это я потребовал, чтобы все плоские фигуры центр инверсии имели... Размечтался, блин. Для таких-то 'показательство' сработает.