Нарушение нарушения неравенства Белла?

 
+
-
edit
 

Alexeyy

втянувшийся
Эксериментальное нарушение неравенства Белла верно вместе с верностью
 Пришёл к абсурдному резултату, согласно которому неравенство Белла для проекций спинов имеет место также для проекий спнов, получаемых в эксперименте. Точнее - это неравенство совершенно аналогично неравенству Белла для спинов, но оно получается без использовании предположения об одновременном существовании проекций спинов одной частицы в разных направлениях. Покажу, что это неравенство, как и неравенство Белла также будет нарушаеться в квантовой механике в соответмтвии с экспеиментом. Но что меня больше всего удевляет – нарушение этого неравенства в эксперименте также выглядит противоречащим тому же эксперименту. Подсказку как разобраться с этим проиворечаем мне бы и хотелось услышать («По идее» где – то должна быть ошибка. Но не верится, т.к. «всё» выглядит врроде бы «прозрачным»).

Собственно неравенство, которое ниже получу представляет из себя практически то же неравенства Белла. Только в нём фигурируют проекии спина частиц в разных направлениях не в один и тот же момент времени, а в разные. Доказательство этого неравенства – совершенно аналогично доказательству неравенства Белла. Это аналогия оказывается возможной потому, что при доказательстве неравенства Белла для спинов формально математически используется лишь одно предположение. А именно - предположение о том, что проекций спинов частиц образуют последовательность, сотоящую либо из +1 либо -1 (в единицах h).

Поэтому я сначала воспроизведу доказательство неравенства Белла, а потом, основываясь на введённых обозначениях изложу искомое доказателство.

Пусть имеем частицу, которая расспадается на 2 других частицы, разлетающиеся в противовоположные стороны и находящиеся в синглетном состоянии. Эксперимент по обнаружению нарушения неравенства Белла состоял в том, чтобы детектировать проекции спина этих частиц на заданные направления. Детекторы направления спинов были таковы, что позволяли одновременно измерять проекцию спина частицы лишь в одном направлении. Эти эксперименты были направлены на то, чтобы показать, что одновременно у частицы не могут сущестовать проекции спина в 2-х разных направлениях. В результате было получено полное соответствие с предсказанием квантовой механики. Если бы действительно частица одновременно имела проекции спина сразу в нескольких направлений, то имело бы место некоторое неравенство. Которое нарушается в квантовой механике, что и обнаружил эксперимент. Это и указывает на не верность сделанного предположения об одновременном сущестовании у одной частицы спина сразу в нескольких направлениях.

Пусть А – направление, в котором летит 1-я частица, В – вторая. S – источник:

A S B
\ / (+1,-1) \/ (+1,-1)
а а1 в в1

В А и В находятся 2 детекотра, которые могут измерять спины частиц в 2-х заданных направлениях (не одновременно).
Теперь приступлю к доказательству неравенства Белла.
2 направления, в которых может измеряться спин в А обозначу a и a1, в В – как в и в1. Допустим проекции спина в каждом n-ом эксперименте существуют одновремено для обеих частиц. Обозначу их соответственно аn, а1n, вn, в1n. Каждая их этих величин может принимать значение либо 1, либо -1.
Составим комбинацию

уn=аn*вn+аn*в1n+а1n*вn-а1n*в1n (1)
уn может принимать значения либо 2, либо -2. Действительно, запишем (1) в виде

уn=аn(вn+в1n)+а1n(вn-в1n) (2)

вn и в1n должны иметь противоположные знаки или тот же самый знак. Это значит, что только один член этого равенства не равен нулю и его значение либо 2, либо -2.
Образуем выражение
|(1/N)sum(уn)| = | (1/N)sum(аn*вn) + (1/N)sum(аn*в1n) + (1/N)sum(а1n*вn) + (1/N)sum(а1n*в1n) | . (3)
Здесь sum – знак суммирования. || - знак модуля.
Поскольку уn равно либо +2, либо -2 для всех n, то это выражение либо меньше 2, либо равно 2.
Определеим коэффициенты

С(а,в) = (1/N)sum(аn*вn)
С(а,в1) = (1/N)sum(аn*в1n) (4)
С(а1,в) = (1/N)sum(а1n*вn)
С(а1,в1) = (1/N)sum(а1n*в1n)

Тогда получаем:

| С(а,в) + С(а,в1) + С(а1,в) + С(а1,в1)|<=2 (5)

Это неравенство – одна из форм неравенства Белла.
Теперь легко показать при подходящем выборе направлений a, a1, d, d1, что Квантово-механические предсказания для введённых коэффициентов нарушают неравенство, Белла.
Согласно Квантовой механике

С(а,в) = -сos(Qав) (6)

Где Qав – угол между направлениями а и в. Аналогично

С(а,в1)=-сos(Qав1)
С(а1,в)=-сos(Qа1в) (7)
С(а1,в1)=-сos(Qа1в1) .

Выберем направления а, в, а1, в1 компланарными и пусть а будет параллельным в, а Qав1=Qa1d=ф и Qф1в1=2ф. Для таких специальных направлений неравенство Белла (5) ппримет вид:

|1+2cosфcos2ф|<2 (8)

Однако неравенство Белла нарушается для всех значений ф между 0 и 90 градусов. Это и показал эксперимет. Что, как считается, указывает на то, что частица не может иметь спин сразу в нескольких направлениях.

Теперь проведу совершенно аналогичные рассужденя, только под аn, а1n, вn, в1n буду иметь в виду не соответствующие проекции спина частиц в один и тот же момент времени, а проекции спина, которые на практике были измеряены во взаимно - дополнительных экспериментах. Так в одной серии экспериментов измеряется ряд значений аn, вn, в другой - аn, в1n, в 3-й - а1n, вn, в 4-ой - а1n, в1n (предполагаю, что в каждой серии экспериментов n пробегает значения от 1 до N).
Согласо эксперименту – в соответствии с предсказанием квантовой механики имеем:

С(а,в) = (1/N)sum(аn*вn) = -сos(Qав)
С(а,в1) = (1/N)sum(аn*в1n) =-сos(Qав1) (9)
С(а1,в) = (1/N)sum(а1n*вn) = -сos(Qа1в)
С(а1,в1) = (1/N)sum(а1n*в1n) = -сos(Qа1в1)

(Эти выражения записаны с некоторой экспериментальной точностью).
Как уже говорилось, для некоторых вышеприведённых специально выбранных направлений экспериментально измеряемых проекций спина выражение

| С(а,в) + С(а,в1) + С(а1,в) + С(а1,в1)| > 2

Это есть экспериментальный и теоретический факт.
Теперь составим из величин аn, а1n, вn, в1n, измеренных в дополнительных экспериментах, комбинацию (1). Тогда совершенно аналогично выводу неравенства Белла можно заключить, что yn меньше или равно двум.
Действительно, с математической точки зрения этот вывод основывался единственно на основе предположения о том что каждый элемент из любой из пососледоваельности аn, а1n, вn, в1n равен либо 1, либо -1. Совершенно аналогично как и ранее мы можем (1) представить в виде (2). При этом один из членов в правой части (2) равен нулю. Т.к. вn и в1n имеют противоположные знаки или тот же самый знак (Из за того, что вn и в1n равны либо +1, либо -1). И совершенно аналогично предыдущему заключаем, что (2) равно либо -2, либо +2. Следовательно модуль от среднего арифмитического от yn меньше или равен 2. Т.е. мы получаем, что если в (3) будем под аn, а1n, вn, в1n иметь в виду не значения проекций спина в один и тот же момент времени, а значения, полученные в разных, дополнительных экспериментах, то по прежнему, как и в случае неравенства Белла, – выражение (3) будет меньше или равно двум. Причём при получении этого заключения мы использовали лишь тот экспериментальный факт, что проекции спинов могут принимать значения либо 1, либо -1.
С другой стороны согласно тем же экспериментам при некотором выборе направлений измерения спинов - выражение (3) должно бть больше 2-х (см.(9)(10)).
Понятно, что одно и то же число не может быть больше 2-х и меньше 2-х одновременно. К противоречию мы пришли основываясь только на экспериментальных данных.
Но не вижу где в рассуждениях засела ошибка. Мне кажтся «всё» довольно прозрачным.
 

в начало страницы | новое
 
Поиск
Настройки
Твиттер сайта
Статистика
Рейтинг@Mail.ru