Теорема Ферма

 
1 2 3
+
-
edit
 

Mishka

модератор
★★☆
AidarM, 23.03.2004 15:29:58 :
2 Mishka
Да все я понимаю, просто сформулировал не так злобно. :D Свойство треугольника я знаю. И про размер д-ва слышал.
 


Я не злобно, может немного категорично, но в математике доказательства принимаются только логически верные. Формализация, все-таки здесь, весьма велика.

Вот быль-байка, которая объяснит немного мой подход.

В молодости я работал в Институте Математики. И была у нас такая обязанность - отвечать на всевозможные письма людей, которые доказывали всякие такие теоремки (примерно, как у физиков с вечным двигателем). Старые зубры всегда привлекали на это дело молодых - пускай потренируются, да и время зубрам сэкономят. Подошла и моя очередь. Получили письмо от одного мужика, который строил число Пи только при помощи циркуля и линейки и элементарных геометрических построений. Типа отрезок, длина которого в точности равна Пи. На мое счастье, письмо начиналось фразой (если опустить все измышления про коварных ученых, зажимаших генния): "Предположим, что Пи равно 3.14..." А дальше показывалось, как построить 3.14.

ЗЫ А то еще была в Комсомолке в 80-х статья, где другой генний из Крыма, изобрел другую математику. А его ученые зажали и разговаривать не хотят. Основой послужило заявление, что в современной математики все не точно - возьмем Пи, е или квадратный корень из двух - ну никак не записать это число в десятичном представлении. Поэтому он похерил эти числа и стал работать только с точными.
 
+
-
edit
 

Mishka

модератор
★★☆
ArmoryBlaid, 23.03.2004 20:45:28 :
Я не знаю, что такое "теорема Ферма", но вот в читаемой сейчас книжке попалось. Может, кому интересно. Там только степени своеобразно записаны.

...зачем завуча дразнишь? Зачем сказал, что можешь решить теорему
Ферма?
- Могу. Частично, - сказал Сапожников.
 


С таким пацаном интересно было бы поработать. И учитель, ИМХО, правильно сказал. Проблема состоит в том, как говорил, мой преподователь по Фальнику, что доказывать надо для всех случаев, а для опровержения достаточно одного.
 
+
-
edit
 

Mishka

модератор
★★☆
WiTL, 23.03.2004 04:01:40 :
Это не утверждение. Это попытка найти так сказать "решение" только в отношении теоремы Ферма и ничего другого. Пусть неудачная. Если вы считаете что в данном случае корректно опровергать её когда в игре сразу четыре числа примером из двух чисел, то заранее согласен с вашим опровержением.
 


Понимаете, мой пример легко обобщить для любого числа чисел. Что я хотел сказать, что при переходе на бесконечность простая человеческая интуиция часто подводит. В математике этому специально учат. Айдар вон привел уже с континумом пример. Кстати, если так интересно, то скажите, а где больше точек (чисел) - на открытом отрезке (0,1) или на (0,2)? Т.е. возьмите ось Х и отложите два отрезка с координатами 0 и 1 и второй с координатами 0 и 2. Где точек больше? Подсказка - не путайте длину отрезка с мощностью множества (для конечного множества, мощность определяется числом элементов). Длина и мера, конечно, чем-то похожи, но, все-таки, разные вещи.
 

Rada

опытный

Или ещё - что больше - множество N или множество Q? Или R+ или R?
С себя можно начать когда все остальное будет в порядке.  

Zeus

Динамик

Mishka, 24.03.2004 09:07:15 :
Старые зубры всегда привлекали на это дело молодых - пускай потренируются, да и время зубрам сэкономят. Подошла и моя очередь.
 


Tут вам надо было у Выбегалло учиться :D
И животноводство!  
+
-
edit
 

-exec-

опытный

Rada, 24.03.2004 05:44:21 :
Или ещё - что больше - множество N или множество Q? Или R+ или R?
 


множества N и Q равномощны потому, что оба перечислимые.
R имеет мощность континуум, кажись.
а что такое R+ я не знаю.
 
+
-
edit
 
DE K. Gornik #24.03.2004 14:05
+
-
edit
 

K. Gornik

втянувшийся

Доказать теорему Ферма для подмножеств чисел легко, и есть множество доказательств для подмножеств, скажем, только для n=4 или только для пифагоровых троек. Проблема была в том, чтобы доказать ДЛЯ ВСЕХ.
 
+
-
edit
 

Mishka

модератор
★★☆
AidarM, 22.03.2004 15:51:59 :
Насчет Ферма: препод на дискретке рассказывал, что Ферма был тот еще фрукт. Ошибок делал кучу. И еще любил делать так: придумает теоремку, часто правильную, а доказывать ее предлагает своим друзьям. Ну, неинтересно ему это было. Так что его собственное доказательство могло быть неверным. ;) С очень высокой вероятностью.
 


:D

Очень не любил дед Макар ходить до ветру в сильный мороз. Не любил - и не ходил - терпел до весны.
 
+
-
edit
 

AidarM

аксакал
★☆
2 Mishka и остальные

Лично я в таких вещах как мощность множества не разбираюсь совсем. Никогда не учили, а у самого руки не дошли. Где бы про такое прочесть?

И еще.
>скажите, а где больше точек (чисел) - на открытом отрезке (0,1) или на (0,2)

Можно ли для ответа на такой вопрос рассуждать так? Для любой точки из первого интервала можно найти такую же точку (с той же координатой) из второго интервала и оттуда же еще одну точку с координатой, равной координате первой найденной точки+1. Тогда при сканировании по всем точкам первого отрезка, указанным способом просканируются все точки второго отрезка за исключением точки с координатой 1.

И вот теперь рискованное утверждение. Рискованное, поскольку я не знаю, как определяется число точек :D для континуального множества. И определено ли, но если да, я предполагаю, что в отрезке (0,2) в 2 раза больше точек, чем в (0,1), хотя в обоих точек бесконечное множество.

Или так: если в первом - N точек, то во втором 2N+1. Делим второе на первое и стремим N к точному числу точек( :F ) в первом отрезке. Получаем 2.

Смиренно жду табуреток.
Солипсизм не пройдёт! :fal:  
Это сообщение редактировалось 24.03.2004 в 18:34

Rada

опытный

2 AidarM: мощность множества - штука простая (мощность множества A обозначается как |A|). Концептуально, ММ - это "сколько во множесве элементов". Начнём с конечных множеств. Мощность конечного множества - просто кол-во элементов (например, A = {1, 2, 6} => |A|=3). С бесконечными множествами чуть сложнее, т.к. кол-во элементов в них не есть конечное число. В этом случае, ММ определяется через соответствие эквивалентности элементов данного множества некому известному бесконечному множеству. Например, мы знаем, что существует множество действ. чисел R. Попробуем определить, имеет ли множество положительных действ. чисел R+ такую же мощность, как и R. Для этого мы должны найти эквивалентное соответствие всех элем. R+ элементам R. Такое соответствие существует, например y=e^x - всем элементам R ставятся в однозначное соответствие элементы R+, и всем элем. R+ ставятся в однозначное соответствие элементы R. То есть, |R+|=|R|. Если идея понятна, сделай упражнение - докажи, что [0, 1] и [0, 2] равномощны, или что N и Q равномощны.
С себя можно начать когда все остальное будет в порядке.  
+
-
edit
 

AidarM

аксакал
★☆
Спасибо, Rada!

>Если идея понятна, сделай упражнение - докажи, что [0, 1] и [0, 2] равномощны, или что N и Q равномощны.

y=2x ? :)
Солипсизм не пройдёт! :fal:  

Rada

опытный

2 AidarM: правильно. :)
С себя можно начать когда все остальное будет в порядке.  
+
-
edit
 

AidarM

аксакал
★☆
Упс, пропустил. Q - это что, не напомните?
Солипсизм не пройдёт! :fal:  

Rada

опытный

2 AidarM: рациональные числа. Для док-ва надо иметь ввиду, что рац. числа имеют вид p/q, где p и q - элементы N. Док-во хитрое, посказка - представь шахматную доску, у угла которой ты стоишь - горизонтальные координаты это p, а вертикальные это q. Естественно, любой элемент Q лежит где-то на этой доске. Найди эквивалентное соответствие любому элементу Q лежащему на доске, и некому номеру (элементу N), и наоборот.
С себя можно начать когда все остальное будет в порядке.  

Rada

опытный

Тут я неточность проявил - для начала докажем эквивалентность N и Q+. А потом - Q+ и Q, наподобие R+ и R. Мощность транзитивна, то есть если |A|=|B| и |B|=|C|, то |A|=|C|.
С себя можно начать когда все остальное будет в порядке.  
+
-
edit
 

Mishka

модератор
★★☆
Тут уже ответили. Выглядит все просто, но не всегда все так просто. Кантор, когда вводил правила работы со множествами, очень долго голову ломал. Вообщем сейчас это звучит примерно так:

1. Мощность конечного множества определяется как количество элементов в этом множестве.
2. Есть множества бесконечные. Они деляться на две части - счетные и континуума. Им в соответствие ставяться числа Алеф0 и Алеф. Счетные это те, элементам которых можно поставить натуральный ряд - занумеровать и подсчитать, а континуум это те, элементы которых посчитать нельзя.

Поскольку мощность это число, то на здесь действуют законы транзитивности, что уже было сказано. Но есть два специальных числа, поэтому были введены специальные правила.

Алеф больше Алеф0.
Счетная множество счетных множеств всегда счетно.

Про соответсвия - в математики сплошь и рядом доказательством равенства считается биективное отображение (отображение на и в или сюрекция и инекция - это я так - народ попужать). Поэтому ход стандартный. Например, аналогичный ход - это мажоротация в рядах.

Если не изменяет склероз.
N - натуральные числа
Z - целые числа
Q - рациональные числа
R - действительные числа

Всякие плюсы, звездочки, черточки сверху - это показатели расширения множеств. Иногда просто добавляют элемент, иногда строят замыкания, иногда что-то еще. Это уже целый язык.

Что почитать.

Здесь, к сожалению, простого пути нет. Начинать надо с теории множеств. Но тут надо четко представлять, что на какой-то момент, это очень абстрактная теория. Например, все иллюстрации какого-то множества идут путем перчиления элементов. Потом задания вида {An} - но так задать можно только конечные и счетные множества. А переход к общему множеству происходит не совсем осознано. И тут уже фигурируют R или отрезок [0,1]. В общем сначала интуиция, а потом задачки порешать на бесконечность.

Потом, надо приступать к теории меры и функциональный анализ - для продвинутых только. Это мы проходили целый год на 3-ем курсе. Здесь те самые заморочки работы с бесконечностью, про которые я упоминал. Правила Лапиталя - как раз из таких.

К примеру, бесконечно большая сумма бесконечно малых величин - чему равна? Или одну бесконечно малую величину поделить на другую бесконечно малую. Бесконечно малую помножить на бесконечно большую.

Кстати, это был всегда для меня камень преткновения в физике. Точнее, как нам ее читали - берем ряд и откидываем все члены, кроме двух (трех, четырех, нужное выбрать). И получаем искомое уравнение. А где оценка остатка? Тот же самый натуральный ряд (сумма членов вида 1/N при N пробегающем все натуральные цисла - хотя сумма здесь неправильное слово, поэтому и ряд) - равен бесконечности. Т.е. получаем, что сколь заметного влияния любое конечное количество членов на результат не оказывает.

 
+
-
edit
 

Mishka

модератор
★★☆
Rada, 24.03.2004 19:03:22 :
2 AidarM: рациональные числа. Для док-ва надо иметь ввиду, что рац. числа имеют вид p/q, где p и q - элементы N. Док-во хитрое, посказка - представь шахматную доску, у угла которой ты стоишь - горизонтальные координаты это p, а вертикальные это q. Естественно, любой элемент Q лежит где-то на этой доске. Найди эквивалентное соответствие любому элементу Q лежащему на доске, и некому номеру (элементу N), и наоборот.
 


Еще подсказка :P - это знаменитые диаганали Кантора.
 
+
-
edit
 

Mishka

модератор
★★☆
AidarM, 24.03.2004 18:45:15 :
Спасибо, Rada!

>Если идея понятна, сделай упражнение - докажи, что [0, 1] и [0, 2] равномощны, или что N и Q равномощны.

y=2x ? :)
 


А как доказать равномощность прямой и отрезка?
 

Rada

опытный

А как доказать равномощность прямой и отрезка?
 
y=tan(x). Коэффициенты можно подобрать.
Еще подсказка - это знаменитые диаганали Кантора.
 
ИМХО, неверная подсказка. Диагональный метод Кантора используется при доказательстве неэквивалентности N и R. Сейчас разговор идёт о том как доказать эквивалентность N и Q.
С себя можно начать когда все остальное будет в порядке.  
+
-
edit
 
+
-
edit
 

AidarM

аксакал
★☆
2 Mishka & Rada

Спасибо, только чур больше не подсказывать! :) Я все еще торможу... :F
Солипсизм не пройдёт! :fal:  

Fakir

BlueSkyDreamer
★★★
>Mishka
>Кстати, это был всегда для меня камень преткновения в физике. Точнее, как >нам ее читали - берем ряд и откидываем все члены, кроме двух (трех, >четырех, нужное выбрать). И получаем искомое уравнение. А где оценка >остатка?

Оценивают, конечно, хоть и не всегда. Иногда, если ряд явно расходятся, обрезают его из каких-то физических соображений.
 

Zeus

Динамик

Taк... Пошли в ход weapons of math instruction... :D
И животноводство!  
+
-
edit
 

Mishka

модератор
★★☆
Rada, 24.03.2004 23:43:12 :
А как доказать равномощность прямой и отрезка?
 
y=tan(x). Коэффициенты можно подобрать.
Еще подсказка - это знаменитые диаганали Кантора.
 
ИМХО, неверная подсказка. Диагональный метод Кантора используется при доказательстве неэквивалентности N и R. Сейчас разговор идёт о том как доказать эквивалентность N и Q.
 


1. Ага, только, ИМХО, геометрическое доказательство нагляднее (фактически эта tan) - строиться полуокружность на отрезке и из центра полуокружности проводим радиусы - отрезок и прямая параллельны. Из отрезка вертикально опускаем прямую на полуокружность (строим соответствие точек отрезка и полуокружности), а радиус проводим через точку пересечения вертикальной прямой и полуокружности.

2. Правильно. Но диаганали остались. Начнем нумерацию доски с левого верхнего угла - вправо и вниз. Тогда числу вида m/n соотвествует клетка m ряд, n колонка на доске. Теперь берем диагонали таким образом, что m+n=const. Легко заметить, что число таких чисел на диагонали m+n-1 (для простоты можно заметить, что диагональ можно нумеровать числом (k,1) как диагональ с номером k - тогда и чисел на такой диагонали ровно k). Т.е на первой диагонали - одно число (1,1), на второй - два - (1,2) и (2,1). Поэтому каждой диагонали с номером к ставиться в соответсвие набор натуральных чисел размернорстью k, а уж с какого числа конкретно - определяется как сумма арифметической прогрессии с шагом 1 чисел от 1 до k-1 да плюс 1 - т.е. отрезок
code text
  1. [sum(1,2,3...,k-1)+1,sum(1,2,3,...,k-1)+k].


Уф, вроде так.
 
1 2 3

в начало страницы | новое
 
Поиск
Настройки
Твиттер сайта
Статистика
Рейтинг@Mail.ru