Разложение дельта-функции в ряд Фурье - вопрос

 

Fakir

BlueSkyDreamer
★★★
При разложении дельта-функции в ряд Фурье у нас все коэффициенты конечны, и с ростом N не убывают. Т.е. важны все без исключения члены.
Возникает вопрос - что получится, если мы возьмём M первых коэффициентов. По идее, вроде бы, должны получить некий "выброс" (один) конечной высоты и ширины. Но сходу не соображу - как эту ширину оценить? Если спектр непрерывный, то можно бы воспользоваться соотношением неопределённостей, а как быть, если набор дискретный?
 

pokos

аксакал

Возникает вопрос - что получится, если мы возьмём M первых коэффициентов. ....Если спектр непрерывный, то можно бы воспользоваться соотношением неопределённостей, а как быть, если набор дискретный?
 

У дельта-функции спектр непрерывный, а не дискретный, поэтому "М первых коэффициентов" вообще смысла не имеют. Дискретный спектр имеют только периодические функции.
 

Fakir

BlueSkyDreamer
★★★
Я думал, из контекста ясно, что функция рассматривается на ограниченном интервале :)
То есть да, это будет, строго говоря, не совсем дельта-функция. Но суть та же.
 

pokos

аксакал

Я думал, из контекста ясно, что функция рассматривается на ограниченном интервале :)
 

Не понял. Для дельта-функции любой интервал с конечным значением более чем достаточен. Или имеется в виду приближение к дельта-функции? Но и в этом случае без периодичности спектр непрерывен.
 

Fakir

BlueSkyDreamer
★★★
Скажем так: имеется в виду "искусственная периодичность", в результате получается "гребёнка". Т.е. рассматриваем какой-то интервал, на котором находится "выброс" дельта-функции, и полагаем, что этот интервал - период, или полпериода, честной периодической функции-гребёнки.
Всё как обычно :)
 

U235

старожил
★★★☆
Советую почитать учебник по теории электрических цепей. Ключевое слово - "импульсная характеристика" :) . Вы по сути дела рассматриваете воздействие дельта-функции на идеальный фильтр, т.е. - импульсную характеристику идеального фильтра. Строго говоря - любая из возможных функций будет бесконечным затухающим колебанием и вы сможете оценить лишь коэффициенты затухания. Есть такая математическая теорема что конечный спектр имеют только бесконечные сигналы.

Если Вы возмете фурье-функцию на промежутке от 0 до W, т.е. идеальный фильтр нижних частот, то дельта-функция предбразуется в функцию sin(Wt)/t (частота взята круговая)
Демократия – в аду, на небе Царство  

pokos

аксакал

Полностью согласен с предыдущим оратором.
 
RU Андрей Суворов #14.03.2006 11:55
+
-
edit
 

Андрей Суворов

координатор

При разложении дельта-функции в ряд Фурье у нас все коэффициенты конечны, и с ростом N не убывают. Т.е. важны все без исключения члены.
Возникает вопрос - что получится, если мы возьмём M первых коэффициентов. По идее, вроде бы, должны получить некий "выброс" (один) конечной высоты и ширины. Но сходу не соображу - как эту ширину оценить? Если спектр непрерывный, то можно бы воспользоваться соотношением неопределённостей, а как быть, если набор дискретный?
 

Есть такая функция - sin(Ax)/x
Её спектр, как раз, конечен. Дельта-функция получается из неё при устремлении А к бесконечности.
 
DE K. Gornik #14.03.2006 12:10
+
-
edit
 

K. Gornik

втянувшийся

При разложении дельта-функции в ряд Фурье у нас все коэффициенты конечны, и с ростом N не убывают. Т.е. важны все без исключения члены.
Возникает вопрос - что получится, если мы возьмём M первых коэффициентов. По идее, вроде бы, должны получить некий "выброс" (один) конечной высоты и ширины. Но сходу не соображу - как эту ширину оценить? Если спектр непрерывный, то можно бы воспользоваться соотношением неопределённостей, а как быть, если набор дискретный?
 


Получится выброс, окруженный волночками. Ширина выброса оценочно равна периоду последнего прибавленного члена (если все члены прибавлены правильно). Если интервал конечный, то спектр дискретный. Можно только косинусы складывать, т.к. функция четная. cos(x) + cos(2*x) + cos(3*x) дает приближение на интервале [-pi; pi] с шириной выброса 2*pi/3 (т.е., выброс идет примерно от -1 до 1).
 
EE Татарин #14.03.2006 17:08
+
-
edit
 

Татарин

координатор
★★★☆
Есть такая функция - sin(Ax)/x
Её спектр, как раз, конечен. Дельта-функция получается из неё при устремлении А к бесконечности.
 

sinc(x) записывается. Очень удобно.
Херофобия - это иррациональный, неконтролируемый страх или тревожное переживание в момент предстоящего, а также существующего веселья. А вовсе не то, о чём Вы подумали.  
Это сообщение редактировалось 14.03.2006 в 17:22
+
-
edit
 

AidarM

аксакал
★☆
2 Fakir
Для финального штриха напомню, что:

1/2+cos(x)+cos(2x)+...+cos(Nx)=sin((N+1/2)x)/sin(x/2)

:)

А зачем вам такое понадобилось?

При разложении дельта-функции в ряд Фурье у нас все коэффициенты конечны, и с ростом N не убывают. Т.е. важны все без исключения члены.
 

Следовательно, какое бы конечное число коэффициентов мы ни взяли, ничего хорошего (похожего на изначальную функцию) мы получить не можем...
Солипсизм не пройдёт! :fal:  
Это сообщение редактировалось 14.03.2006 в 17:55

Fakir

BlueSkyDreamer
★★★
U235
Советую почитать учебник по теории электрических цепей. Ключевое слово - "импульсная характеристика" . Вы по сути дела рассматриваете воздействие дельта-функции на идеальный фильтр, т.е. - импульсную характеристику идеального фильтра. Строго говоря - любая из возможных функций будет бесконечным затухающим колебанием и вы сможете оценить лишь коэффициенты затухания. Есть такая математическая теорема что конечный спектр имеют только бесконечные сигналы.
 


Тут мы, очевидно, о разных вещах говорим.
Хотя, пожалуй, мысль любопытная... Импульсная, говорите... Хм... Мож, и удастся подклеить.


Андрей Суворов
Есть такая функция - sin(Ax)/x
Её спектр, как раз, конечен. Дельта-функция получается из неё при устремлении А к бесконечности
 


Спасибо, неплохой вариант :)
А какие там еще есть удобные приближения?

K. Gornik
Ширина выброса оценочно равна периоду последнего прибавленного члена (если все члены прибавлены правильно).
 


Спасибо, это я уже с утра сообразил :)
В первом приближении, пожалуй, и такая оценка сойдёт.

Можно только косинусы складывать, т.к. функция четная. cos(x) + cos(2*x) + cos(3*x) дает приближение на интервале [-pi; pi] с шириной выброса 2*pi/3 (т.е., выброс идет примерно от -1 до 1).
 


Косинусы как раз не устраивают, нужны именно синусы (и только синусы). Впрочем, это не проблема, просто смещаем пик - раскладываем не delta(x), а delta(x-а).

AidarM
Для финального штриха напомню, что:

1/2+cos(x)+cos(2x)+...+cos(Nx)=sin((N+1/2)x)/sin(x/2)
 


Не совсем то :)

А зачем вам такое понадобилось?
 


Да мыслишка в башку взбрела :)
Связанная с гр. условиями урматов :)

Следовательно, какое бы конечное число коэффициентов мы ни взяли, ничего хорошего (похожего на изначальную функцию) мы получить не можем...
 


Собссно, меня устроит и отдалённое сходство - если оно не слишком отдалённое :)
 
DE K. Gornik #16.03.2006 11:41
+
-
edit
 

K. Gornik

втянувшийся

Спасибо, это я уже с утра сообразил :)
В первом приближении, пожалуй, и такая оценка сойдёт.

Косинусы как раз не устраивают, нужны именно синусы (и только синусы). Впрочем, это не проблема, просто смещаем пик - раскладываем не delta(x), а delta(x-а).
 


Надо именно косинусы. В смысле, оно все равно, конечно, но все функции должны быть синхронизированы в точке максимума, а не в точке нуля, а то вместо дельты получится ее производная.
 

Fakir

BlueSkyDreamer
★★★
Ну какие же косинусы, если урмат нужно решать, методом Фурье - граничные условия, как водится, придётся нормализовать, поэтому - только синусы. И какие в этом проблемы? Буду рассматривать delta(x-а) на интервале [0;пи], доопределю руками, как нечётную функцию.
 

в начало страницы | новое
 
Поиск
Настройки
Твиттер сайта
Статистика
Рейтинг@Mail.ru