О частоте встречаемости цифр, мерах и бесконечностях

Fakir> Спросите его кто-нибудь - как он относится к тому, что первая цифра числа 2ⁿ бывает единицей примерно в 6 раз чаще, чем девяткой?
И впрямь.
1 - 3010 раз
2 - 1761 раз
3 - 1249 раз
4 - 970 раз
5 - 791 раз
6 - 670 раз
7 - 579 раз
8 - 512 раз
9 - 458 раз
1 <= n <= 10000
Причем, не только с основанием 2, но и с 3, и 2.5, и 1.1, и ...

Fakir> Спросите его кто-нибудь - как он относится к тому, что первая цифра числа 2ⁿ бывает единицей примерно в 6 раз чаще, чем девяткой?
Это как? 2^n чисел ровно счётное количество. Как на бесконечности можно сказать, что что-то в 6 раз чаще, чем другое? Чётче надо формулировать.

Massaraksh> И впрямь.
Massaraksh> 1 - 3010 раз
Massaraksh> 2 - 1761 раз
Massaraksh> 3 - 1249 раз
Massaraksh> 4 - 970 раз
Massaraksh> 5 - 791 раз
Massaraksh> 6 - 670 раз
Massaraksh> 7 - 579 раз
Massaraksh> 8 - 512 раз
Massaraksh> 9 - 458 раз
Massaraksh> 1

А где же 0?
А 0 — везде, ровно 10,000 раз для этого набора.

Mishka> Это как? 2^n чисел ровно счётное количество. Как на бесконечности можно сказать, что что-то в 6 раз чаще, чем другое? Чётче надо формулировать.
А счётное множество разве не бесконечно?

Massaraksh> А счётное множество разве не бесконечно?
Конечно, бесконечно. Алеф 0 его мощность. Поэтому и удивило такое высказывание. Т.е., видоимо, для достаточно большого N (конечного) будет примерно так.Как там для любого конечного, но неограниченного N.

Mishka>Как там для любого конечного, но неограниченного N.
Говорят, точно так же:

Massaraksh> Говорят, точно так же:
Это популярная статья. Кстати, в ней он строит нормальную модель, когда от посчёта мощности множества переходит, грубо говоря, к понятию длины, когда от конечной кластеризации переходит к дугам-отрезкам. Вещи немного разные (т.е. длина тоже мера, но далеко не общая и не мера множества). Просто подсчёт элементов — по сути мощность множества (мера множества) — при переходе к бесконечности не сработает. Мощность каждого кластера будет одинакова. Что-то типа того, что взять отрезки на прямой (он говорит про окружность длиной 1) от 0 до 6 и от 10 до 12. Длина первого отрезка будет 6, а второго 2, т.е. первый длинее в 3 раза. Но при этом множества точек, составляющие отрезки, равномощны, т.е. одинаковы.

Я к чему это говорю — если бы он писал матстатью, то было бы сформулировано очень чётко.

Такие же переходы, кстати, в теории пределов и в теории рядов. При интегрировании тоже (всякие меры Лебега, Жордана-Пеано (Лебег обобщил, но длину, площадь, объём вводят по ней), Хаусдорфа). И с ТВ интересно получается. Сама по себе вероятность — мера, но специальная. Но выражается часто при помощи длины-площадей (геометрическое толкование) другой меры.

Ладно, это уже совсем дебри. Я не очень представляю себе, как объяснить человеку, который не изучал математику достаточно углублённо все эти тонкости. С одной стороны тут просто — всякая селёдка рыба, но не всякая рыба — селёдка. А с другой стороны деталей дофига и уровень абстрактности очень высок.

Mishka> Я к чему это говорю — если бы он писал матстатью, то было бы сформулировано очень чётко.
Разумеется, в популярной статье нет смысла приводить строгое доказательство.
Mishka> Ладно, это уже совсем дебри. Я не очень представляю себе, как объяснить человеку, который не изучал математику достаточно углублённо все эти тонкости.
Ну, у меня в дипломе как бы написано "специальность - математик", так что основными понятиями я владею.

Massaraksh> Разумеется, в популярной статье нет смысла приводить строгое доказательство.

Хм, там не строгое доказательство. Там честный уход в сторону. Но, поскольку народ не особо шурупит, то и не видит. Факир же достаточно знает математику, чтобы не попадаться.

Massaraksh> Ну, у меня в дипломе как бы написано "специальность - математик", так что основными понятиями я владею.

Дык, я же не тебе объяснял. Хотя твой вопрос про бесконечность меня смутил, да. Не ожидал.

Вот попробуй объясни людям, почему со счёта элементов в конечном множестве нельзя переходить на "количество" элементов в бесконечном счётном (про несчётное даже говорить не приходится ). Т.е. просто фразу, что 6*Алеф0=Алеф0 — я могу сказать. Но толку мало. С длиной интересней, там умножение на 6 уже видно. Как объяснить, что можно перейти? По сути, немного меняем задачу, правда.

Ещё парадокс — количество точек в отрезках с длиной 1 и 6 одинаковое, а длина разная.

Mishka> Ещё парадокс — количество точек в отрезках с длиной 1 и 6 одинаковое,
И там и там -бесконечность.

Mishka> Вот попробуй объясни людям, почему со счёта элементов в конечном множестве нельзя переходить на "количество" элементов в бесконечном счётном
Если взять случайным образом натуральное число в конечном, достаточно большом множестве натуральных чисел, то с вероятностью 0.5 оно окажется чётным. Но для счётного множества натуральных чисел это неверно? Нельзя переходить?

энди> И там и там -бесконечность.
Не просто бесконечность, а несчётная бесконечность. Количество точек (элементов) в такой больше, чем в счётной (в том же натуральном ряде). Нельзя сказать на сколько, нельзя сказать во сколько, но больше. Это по мере "мощность". А вот по мере "длина" уже можно — на 5 длинее и в 6 раз длинее.

Massaraksh> Если взять случайным образом натуральное число в конечном, достаточно большом множестве натуральных чисел, то с вероятностью 0.5 оно окажется чётным. Но для счётного множества натуральных чисел это неверно? Нельзя переходить?

Для несчётного множества нельзя переходить по мере "мощность". Теряется смысл вероятности. Вероятность тоже мера. Поэтому задачу надо строить по другому. Вот этот переход надо доказывать. Народ этого не делает. Потом пытается интегрировать ф-цию Дирихле по Риману. Выходит попа. Хотя есть способы интегрирования ф-ций с такими свойствами (бесконечное, но счётое количество разрывов — всюду разныная ф-ция ). В тех условиях размер таких разрывов получается 0, поэтому никаких проблем.