[image]

Математика рисует

 
LT Bredonosec #08.04.2014 00:44
+
+2 (+3/-1)
-
edit
 

Вот вам такой комплексный дизайн, созданный простыми системами.

This is an example of how mathematics helps us to unravel the complexity of the universes by helping us discover the simple systems behind those phenomenons.

- пример того, как математика помогает раскрыть сложность вселенной, находя простые системы позади сложных феноменов
   26.026.0
LT Bredonosec #08.04.2014 00:48
+
+1
-
edit
 
LT Bredonosec #08.04.2014 00:57
+
-
edit
 
катится по окружности [показать]


Эпициклоиды и гипоциклоиды можно катать по ним же, как снаружи, так и внутри.

здесь предлагается визуализация того, как эпициклоиды с числом стяжек н+1 катаются снаружи эпициклоидов с числом стяжек н

описание на англ, кому интересно [показать]
   26.026.0
LT Bredonosec #15.04.2014 19:44
+
+1
-
edit
 
формула бабочки [показать]


под спойлеры - чтоб не перегружать страницу.
   26.026.0
LT Bredonosec #22.06.2014 22:03
+
+2
-
edit
 
The Brachistochrone
по какой кривой шарик скатится быстрее - древняя загадка математики.  [показать]
   26.026.0
+
+1
-
edit
 
+
-
edit
 

spam_test

аксакал

carlos> весьма наглядно до кубов.
   33
RU Валентин_НН #27.03.2016 12:30
+
-
edit
 
LT Bredonosec #06.12.2020 22:37
+
-
edit
 
Замечательный пример могущества математики. Ну и знающих её, само собой ))
Всем известно, что окружающие нас предметы являются суммой простых геометрических форм, описываемых простыми функциями, но видоизменить их для 3Д дейормаций и добавления шума, и позже соединить всё это в систему уравнений, получив в итоге эти формы - это та самая "магия" простых вещей, которые выходят за рамки восприятия обывателя, если простых вещей слишком много.
Ну и освещение всего этого, как функции лучей с разных сторон на поверхность, то есть, видоизменение, деформации - никак не портят свет и цвет. Они органически меняются сами.
Для аниматоров и прочих графических дизайнеров такая математика - просто убийство, поскольку делает их работу более эффективным методом.
И, кстати, вес ролика получается несоизмеримо меньшим.
Это именно та техника, благодаря которой команды аниматоров разных стран соревнуются в создании видеороликов минимального обьема, навроде вселенной весом в пару десятков килобайт. Или двухминутного полета через чрезвычайно детализованный город весом в 2 мегабайта (победитель 5-летней давности)

Видео было создано с помощью специализированного инструмента Shadertoy. Работая с ним, Иниго Квилес подробно обсуждает создание основных форм, настройку освещения, обработку лица, лицевую анимацию и многое другое. Иниго также выложил в открытый доступ код рендеринга в реальном времени. Он полагает, что читатели захотят повторить его опыт, получив такой же или немного другой результат.

Painting a Selfie Girl, with Maths
Today we are painting a girl taking a selfie, with mathematics. Support this channel: https://www.patreon.com/inigoquilez This is the link to the real-time rendering code (that you can edit yourself live) for the painting: https://www.shadertoy.com/view/WsSBzh Links I mentioned in the video I'd leave here: * Raymarching: https://iquilezles.org/www/articles/raymarchingdf/raymarchingdf.htm * SDF of a Line Segment: https://www.youtube.com/watch?v=PMltMdi1Wzg * Smoothstep: https://youtu.be/bdICU2uvOdU?t=3423 * SDF of a Rounded Box: https://www.youtube.com/watch?v=62-pRVZuS5c Music by Bent…
   83.083.0

Fakir

BlueSkyDreamer
★★★★☆
Лемниската (от лат. lemniscatus — «украшенный лентами») — плоская алгебраическая кривая порядка 2n, у которой произведение расстояний от каждой точки до n заданных точек (фокусов) постоянно.

Уравнение лемнискаты на комплексной плоскости

\left | (z - z_1) (z - z_2) \ldots (z - z_n) \right | = r^n,\; z = x + iy,\; r > 0.

Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний, например, очертания человеческой головы или птицы. Имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число фокусов F_1, F_2, …, F_n, их расположение и назначить такую величину p для неизменного произведения расстояний MF_1\cdot MF_2\cdot\ldots\cdot MF_n = p, что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, произвольную кривую можно приблизить последовательностью леминискат.
 


ЛЕМНИСКАТА БЕРНУЛЛИ

Обратимся к кривой, описываемой точкой на плоскости
так, что остается неизменным произведение расстояний
этой точки до двух определенных точек
Fi и F2 той же плоскости. Такая кривая называется
лемнискатой (лемниската по-гречески значит
«ленточная»).
 


ЛЕМНИСКАТА С ЛЮБЫМ ЧИСЛОМ ФОКУСОВ

Возьмем теперь на плоскости любое количество?
точек FuF2, ..., Fn и заставим точку ? двигаться
так, чтобы для нее оставалось неизменным произвел
дение расстояний до каждой из взятых точек. Полу;*
чим кривую, форма которой будет зависеть от того,
как расположены точки Fu F2, ..., Fn друг
относительно друга и какова величина неизменного
произведения. Кривая эта называется лемнискатой с n
фокусами.
Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя
фокусами. Беря разное число фокусов, располагая их
по-разному и назначая ту или иную величину для
произведения расстояний, можно получать лемнискаты
самых причудливых очертаний. Будем вести острие
карандаша из некоторой точки Л, не отрывая от бумаги,
так, чтобы оно в конце вернулось в исходную точку
Л. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы
потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала
самое себя. Очевидно, что таким путем могут
получиться кривые, имеющие, например, очертания
человеческой головы или птицы (рис. 36). Оказывается,
что, имея такую произвольную кривую, можно так
подобрать число ? и расположение фокусов
F \, * 2» · · ·, гп
и назначить такую величину для неизменного
произведения расстояний
MFX-MF2 ... MFn = p,
что соответствующая лемниската на глаз не будет
отличаться от этой кривой. Иными словами, возможные
отклонения точки, описывающей лемнискату, от
нарисованной кривой не будут превосходить ширину
карандашного штриха (карандаш можно заранее
отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень
узким). Этот замечательный факт, говорящий о
необычайном разнообразии и богатстве форм лемнискат
с многими фокусами, доказывается совершенно строго,
но очень сложно, при помощи высшей математики.
 

Построение аналитических выражений… для любых объектов — от теоремы Пифагора до розовой пантеры и сэра Исаака Ньютона в Wolfram Language (Mathematica)

Перевод поста Майкла Тротта (Michael Trott) "Making Formulas… for Everything—From Pi to the Pink Panther to Sir Isaac Newton". Выражаю благодарность за помощь в... //  habrahabr.ru
 
Построение аналитических выражений… для любых объектов — от теоремы Пифагора до розовой пантеры и сэра Исаака Ньютона в Wolfram Language (Mathematica)

...Предположим, что вы делаете линии рисунка карандашом на листке бумаги и допустим, что рисуете только линии; никакую штриховку и никакое заполнение не делаете. Тогда рисунок будет выполнен из ряда сегментов кривой. Математическое понятие, такое как ряды Фурье позволяет нам записывать конечную математическую формулу для каждого из этих линейных сегментов, которые будут описывать их как угодно точно.
 


Примечание: ряды Фурье — это не единственный способ задания аппроксимирующих кривых. Мы могли бы использовать вейвлеты или сплайны, или кодировать кривые кусочно через круговые сегменты. Или при достаточном терпении, с помощью универсальности дзета-функции Римана, мы могли бы найти любую фигуру внутри критическую полосы. (Как ни удивительно, любое возможное (достаточно гладкое) изображение, такое как Иисус на тосте, существует при некоторых значениях дзета-функции Римана Дзета(s) в полосе 0?Re(s)?1, но у нас нет конструктивного способа, чтобы найти его.)
 
   51.051.0

в начало страницы | новое
 
Поиск
Настройки
Твиттер сайта
Статистика
Рейтинг@Mail.ru